Question

已知f（x）=|cosx|（x≥0），y=g（x）是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與f（x）圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)的直線，這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為α，β（0＜α＜β），那么下列結(jié)論中正確的有

 

．
①f（x）-g（x）≤0的解集為[α，+∞）．
②y=f（x）-g（x）在（0，α）上單調(diào)遞減．
③αcosβ+βcosα=0．
④當(dāng)x=π時(shí)，y=f（x）-g（x）取得最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦函數(shù)的圖象

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由題意，y=g（x）與y=-cosx相切，則y′=sinx，g（x）=xsinβ，y=f（x）-g（x）=|cosx|-xsinβ．再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由題意，y=g（x）與y=-cosx相切，則y′=sinx，g（x）=xsinβ，y=f（x）-g（x）=|cosx|-xsinβ．
①∵這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為α，β（0＜α＜β），∴f（x）-g（x）≤0的解集為[α，+∞），正確．
②y′=f′（x）-g′（x）=sinx-sinβ，∵0＜α＜β，∴y′＜0，∴y=f（x）-g（x）在（0，α）上單調(diào)遞減，正確．
③∵兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為α，β，∴cosα=αsinβ，-cosβ=βsinβ，∴αcosβ+βcosα=0，正確．
④由②知，當(dāng)x=α?xí)r，y=f（x）-g（x）取得最小值，故不正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦函數(shù)的圖象，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．