Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），點(diǎn)A、B在拋物線C上．
（Ⅰ）若直線AB過(guò)點(diǎn)M（2p，0），且|AB|=4p，求過(guò)A，B，O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）三點(diǎn)的圓的方程；
（Ⅱ） 設(shè)直線OA、OB的傾斜角分別為α，β且α+β=

π

4

，問(wèn)直線AB是否會(huì)過(guò)某一定點(diǎn)？若是，求出這一定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出A，B的坐標(biāo)，可得三角形ABO是Rt△，從而可求過(guò)A，B，O三點(diǎn)的圓方程；
（Ⅱ）直線AB的方程為：x=my+b，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合α+β=

π

4

，可得b=-2p-2mp，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵直線AB過(guò)點(diǎn)M（2p，0），且|AB|=4p，
∴直線x=2p與拋物線y²=2px的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是：A（2p，2p），B（2p，-2p），
∴三角形ABO是Rt△，
∴過(guò)A，B，O三點(diǎn)的圓方程是：（x-2p）²+y²=4p²；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A(

y 2 1

2p

，y1)，B(

y 2 2

2p

，y2)，直線AB的方程為：x=my+b，它與拋物線相交，
由方程組

x=my+b y2=2px

消去x可得y²-2mpy-2pb=0，
故y₁+y₂=2mp，y₁y₂=-2pb，
這樣，tan

π

4

=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

y1 x1 + y2 x2

1- y1y2 x1x2

=

x2y1+x1y2

x1x2-y1y2

=

2p(y1+y2)

y1y2-4p2

即1=

2p•2mp

-2pb-4p2

=-

2mp

b+2p

，所以b=-2p-2mp，
∴直線AB的方程可以寫成為：x=my-2p-2mp，即x+2p=m（y-2p），
∴直線AB過(guò)定點(diǎn)（-2p，2p）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查和角的正切公式，考查直線過(guò)定點(diǎn)，屬于中檔題．