Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n²-4a_n+3，且a₁=3，a_n＞1
（1）設(shè)b_n=log₂（a_n-1），證明數(shù)列{b_n+1}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)c_n=（2n-1）b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n²-4a_n+3，變形為a_n+1-1=2(an-1)2，兩邊取對(duì)數(shù)可得：log₂（a_n+1-1）=2log₂（a_n-1）+1，可得b_n+1=2b_n+1，變形為
b_n+1+1=2（b_n+1），即可證明．
（2）由（1）可得：b_n=2ⁿ．c_n=（2n-1）b_n=（2n-1）•2ⁿ．再利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： （1）證明：由數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n²-4a_n+3，
變形為a_n+1-1=2(an-1)2，
∵a₁=3，a_n＞1，
∴兩邊取對(duì)數(shù)可得：log₂（a_n+1-1）=2log₂（a_n-1）+1，
∵b_n=log₂（a_n-1），
∴b_n+1=2b_n+1，
b_n+1+1=2（b_n+1），
又b₁=log₂（a₁-1）=log₂（3-1）=1．
∴數(shù)列{b_n+1}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2；
（2）解：由（1）可得：b_n=2ⁿ．
∴c_n=（2n-1）b_n=（2n-1）•2ⁿ．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
2S_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=

4(2n-1)

2-1

-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=（3-2n）×2ⁿ⁺¹-6，
∴S_n=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．