Question

已知a＜2，．（注：e是自然對(duì)數(shù)的底）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在x₁∈[e，e²]，使得對(duì)任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，再分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意，存在x₁∈[e，e²]，使得對(duì)任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，等價(jià)于對(duì)任意x₁∈[e，e²]及x₂∈[-2，0]，f（x）_min＜g（x）_min，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）由題意可得f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵a＜2，∴a-1＜1
①當(dāng)a-1≤0，即a≤1，∴x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
②當(dāng)0＜a-1＜1，即1＜a＜2，∴x∈（0，a-1）∪（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，x∈（a-1，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
綜上所述，當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞）；當(dāng)1＜a＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（a-1，1），單調(diào)增區(qū)間是（0，a-1），（1，+∞）；
（2）由題意，存在x₁∈[e，e²]，使得對(duì)任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，等價(jià)于對(duì)任意x₁∈[e，e²]及x₂∈[-2，0]，f（x）_min＜g（x）_min，
由（1），當(dāng)a＜2，x₁∈[e，e²]時(shí)，f（x）是增函數(shù)，f（x）_min=f（e）=
∵g′（x）=x（1-e^x），對(duì)任意的x₂∈[-2，0]，g′（x）≤0
∴g（x）是奇函數(shù)，∴g（x）_min=g（0）=1
∴
∴
∵a＜2
∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．