【題目】如圖,在三棱錐C﹣OAB中,CO⊥平面AOB,OA=OB=2OC=2,AB=2 ,D為AB的中點.
(Ⅰ)求證:AB⊥平面COD;
(Ⅱ)若動點E滿足CE∥平面AOB,問:當AE=BE時,平面ACE與平面AOB所成的銳二面角是否為定值?若是,求出該銳二面角的余弦值;若不是,說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)在三棱錐C﹣OAB中,CO⊥平面AOB,
∴CO⊥AB.
又OA=OB,D為AB的中點,
∴DO⊥AB
∵DO∩CO=O,
∴AB⊥平面COD.
(Ⅱ)∵OA=OB=2,AB=2 ,
∴AO⊥BO.
由CO⊥平面AOB,故以點O為原點,OA所在的直線為x軸,OB所在的直線為y軸,OC所在的直線為z軸建立空間直角坐標系(如圖),
由已知可得O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,1),D(1,1,0).
由CE∥平面AOB,故設E(x,y,1).
由AE=BE,得 ,
故x=y,即E(x,y,1),(x≠0).
設平面ACE的法向量為 ,由 , =(x,y,0),
得 ,令a=1,得 =(1,﹣1,2).
又平面AOB的法向量為
∴cos< >= = .
故平面ACE與平面AOB所成的銳二面角為定值,且該銳二面角的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)由已知條件推導出CO⊥AB,DO⊥AB.由此能證明AB⊥平面COD.(Ⅱ)以點O為原點,OA所在的直線為x軸,OB所在的直線為y軸,OC所在的直線為z軸建立空間直角坐標系,利用向量法能求出平面ACE與平面AOB所成的銳二面角的余弦值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識,掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想.
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【題目】在12件同類型的零件中有2件次品,抽取3次進行檢驗,每次抽取1件,并且取出后不再放回,若以ξ和η分別表示取到的次品數(shù)和正品數(shù).
(1)求ξ的分布列、均值和方差;
(2)求η的分布列、均值和方差.
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【題目】如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是正方體,在圖①中E,F(xiàn)分別是D1C1,B1B的中點,畫出圖①、②中有陰影的平面與平面ABCD的交線,并給出證明.
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【題目】如圖所示,在△ABC中,a=b·cos C+c·cos B,其中a,b,c分別為角A,B,C的對邊,在四面體PABC中,S1,S2,S3,S分別表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面積,α,β,γ依次表示面PAB,面PBC,面PCA與底面ABC所成二面角的大小.寫出對四面體性質的猜想,并證明你的結論
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【題目】某同學在研究函數(shù)(x∈R)時,分別給出下面幾個結論:
①函數(shù)f(x)是奇函數(shù);②函數(shù)f(x)的值域為(-1,1);③函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù);其中正確結論的序號是
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
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【題目】在區(qū)間(﹣2,a)(a>0)上任取一個數(shù)m,若函數(shù)f(x)=3x+m﹣3 在區(qū)間[1,+∞)無零點的概率不小于 ,則實數(shù)a能取的最小整數(shù)是( )
A.1
B.3
C.5
D.6
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