Question

已知A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且滿(mǎn)足sin2A-sin2B+sin2C=

2

sinAsinC
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若sinA=

3

5

，求cosC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，得到關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosB，將得出的關(guān)系式代入求出cosB的值，即可確定出角B的度數(shù)；
（Ⅱ）由sinA的值求出cosA的值，根據(jù)B的度數(shù)得到A+C的度數(shù)，表示出C，代入cosC中，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）∵△ABC中，sin²A-sin²B+sin²C=

2

sinAsinC，
∴由正弦定理化簡(jiǎn)得：a²+c²-b²=

2

ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

2

2

，
∴B=

π

4

；
（Ⅱ）∵B=

π

4

，sinA=

3

5

＜

2

2

，
∴A＜B，A+C=

3π

4

，
∴cosA=

1-sin2A

=

4

5

，
則cosC=cos（

3π

4

-A）=cos

3π

4

cosA+sin

3π

4

sinA=-

2

2

×

4

5

+

2

2

×

3

5

=-

2

10

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．