Question

定圓O的直徑AB=2R，BC為⊙O的動(dòng)弦，延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC，AC與OD交于P，求點(diǎn)P軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：先建立坐標(biāo)系，設(shè)出相應(yīng)的坐標(biāo)，然后用要求的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出已知軌跡方程的圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入已知的軌跡方程，即可求出點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)的方程．本題宜先借且圖象分析其幾何特征，將幾何特征進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化．

解答： 解：以AB為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則圓O的方程為x²+y²=R²，
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），由題意可知P是△ABD的重心．
由A（-R，0），B（-R，0），
令動(dòng)點(diǎn)C（x₀，y₀），則D（2x₀-R，2y₀），
重心坐標(biāo)公式：

x= -R+R+2x0-R 3 y= 2y0 3

，
即

x0= 3x+R 2 y0= 3y 2

，
代入x²+y²=R²，
整理得所求軌跡方程為（x+

R

3

）²+y²=

4

9

R2（y≠0）．

點(diǎn)評(píng)：考查代入法求軌跡方程，本題對(duì)識(shí)圖的能力要求較高．尤其是P點(diǎn)是三角形的重心這個(gè)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)，必對(duì)圖形進(jìn)行細(xì)致的分析事才能發(fā)現(xiàn)．