Question

12．如圖，一個正三棱柱的左視圖是邊長為$\sqrt{3}$的正方形，則它的外接球的表面積等于（　�。�

• A． 8π
• B． $\frac{25π}{3}$
• C． 9π
• D． $\frac{28π}{3}$

Answer 1

分析 由題意可得：正三棱柱的高是$\sqrt{3}$，底面正三角的高也是$\sqrt{3}$．設球心為O，半徑為R，△ABC的中心為G，所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以GA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．在△OAG中由勾股定理得：R²=$\frac{25}{12}$．進而得到答案

解答 解：因為正三棱柱ABC-DEF的正視圖是邊長為$\sqrt{3}$的正方形，
所以正三棱柱的高是$\sqrt{3}$，底面正三角的高也是$\sqrt{3}$．
設它的外接球的球心為O，半徑為R，底面△ABC的中心為G，
所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
GA是正三角形ABC的高的$\frac{2}{3}$，
所以GA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
在△OAG中由勾股定理得：R²=OG²+GA²
解得：R²=$\frac{25}{12}$．
∴球的表面積為4πR²=$\frac{25π}{3}$．
故選：B

點評 解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征與及球的定義，在球的內接多面體中一般容易出現(xiàn)直角三角形，進而利用勾股定理解決問題即可．