Question

17．函數(shù)f（x）=∫${\;}_{0}^{x}$t（t-4）dt在[-1，5]上（　�。�

• A． 有最大值，無最小值
• B． 有最大值和最小值
• C． 有最小值，無最大值
• D． 無最值

Answer 1

分析 首先由不定積分的基本求法求出f（x）的函數(shù)表達(dá)式 $\frac{1}{3}$x³-2x²，對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求研究函數(shù)y=x²-4x在[-1，5]上的單調(diào)性，判斷出最大值與最小值位置，代入算出結(jié)果．

解答 解：f（x）=∫₀^xt（t-4）dt=（$\frac{1}{3}$t³-2t²）|₀^x=$\frac{1}{3}$x³-2x²
知f′（x）=x²-4x，
令f′（x）＞0，解得x＞4，或x＜0，
故函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x³-2x²，在[0，4]上遞減，在[-1，0]、[4，5]上遞增，
f（-1）=-$\frac{5}{3}$，f（0）=0，f（4）=-$\frac{32}{3}$，f（5）=-$\frac{25}{3}$，
由此得函數(shù)在[-1，5]上有最小值-$\frac{32}{3}$，有最大值0
故選B．

點(diǎn)評 本題考查積分與微分的關(guān)系以及定積分的基本求法，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求最值．