Question

函數y=（sinx+cosx+1）²+sinxcosx（-

π

6

≤x≤

π

2

）的最小值為

 

．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：三角函數的求值

分析：利用換元法，設sinx+cosx=t則 2sinxcosx=t²-1，從而將函數轉化為t的函數，利用配方法，注意變量的范圍，即利用二次函數的性質求得函數的最小值．

解答： 解：設sinx+cosx=t=

2

sin（x+

π

4

），則2sinxcosx=t²-1．
∵-

π

6

≤x≤

π

2

，∴

π

12

≤x+

π

4

≤

3π

4

，∴sin

π

12

≤sin（x+

π

4

）≤sin

π

2

=1，
又 sin

π

12

=

1-cos π 6 2

=

1

2

2- 3

，
∴

2

sin

π

12

≤

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，即

1

2

（

3

-1）≤

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，
∴函數y=（t+1）²+

t2-1

2

=

3

2

t²+2t+

1

2

=

3

2

•(t+

2

3

)2-

1

6

．
再根據函數y=

3

2

•(t+

2

3

)2-

1

6

在[

1

2

（

3

-1），

2

]上是增函數，
故當t=

3 -1

2

時，函數y取得最小值為

4+ 3

4

，
故答案為：

4+ 3

4

．

點評：本題以三角函數為載體，考查函數的最值，考查配方法的運用．換元是關鍵，別忘了變量范圍的變化，屬于基礎題．