Question

設(shè)三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且acosC=b-

1

2

c．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）若a=

3

，求三角形ABC面積S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知等式，根據(jù)sinB=sin（A+C），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后求出cosA的值，即可確定出角A的大�。�
（Ⅱ）利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，cosA的值代入得到關(guān)系式，利用基本不等式求出bc的最大值，即可確定出三角形ABC面積S的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理化簡acosC=b-

1

2

c得：sinAcosC=sinB-

1

2

sinC，
即sinAcosC=sin（A+C）-

1

2

sinC=sinAcosC+cosAsinC-

1

2

sinC，
∴cosAsinC-

1

2

sinC=0，
又sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵a=

3

，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理得cosA=

b2+c2-3

2bc

=

1

2

，即b²+c²=bc+3，
∵b²+c²≥2bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，
∴bc+3≥2bc，即bc≤3，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

，
則當(dāng)b=c=

3

時(shí)，三角形ABC面積S的最大值為

3 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．