已知數(shù)列{a
n}滿足a
1=a,
an+1=Sn+(-1)n,n∈N
*,且
{an+(-1)n}是等比數(shù)列.
(1)求a的值;
(2)求出通項公式a
n;
(3)求證:
++…
++<.
考點:數(shù)列與不等式的綜合
專題:
分析:(1)由已知得出當(dāng)n≥2時,
an=Sn-1-(-1)n,兩式相減并整理得出
an+1+(-1)n+1=2[an+(-1)n],利用a
1=a,a
2=S
1-1=a-1,即可求a的值;
(2)
{an+(-1)n}是以
a1-=a-=為首項,2為公比的等比數(shù)列,即可求出通項公式a
n;
(3)利用放縮法,并累加,即可證明結(jié)論.
解答:
(1)解:當(dāng)n≥2時,
an=Sn-1-(-1)n,
∴
an+1-an=Sn-Sn-1+2(-1)n,
∴
an+1=2an+2(-1)n,
∴
an+1+(-1)n+1=2[an+(-1)n]又a
1=a,
∴a
2=S
1-1=a-1
又∵
a2+×(-1)2=2(a1-),
∴
a-1+=2(a-),
∴a=1(5分)
(2)解:由(1)知
{an+(-1)n}是以
a1-=a-=為首項,2為公比的等比數(shù)列,
∴
an+(-1)n=•2n-1,
∴
an=(7分)
(3)證明:當(dāng)n≥2時,
+=+=
3(22n-2+22n-1) |
24n-3+22n-22n-1-4 |
<==18()n(10分)
將n由2到n賦值并累加得
++++…
++<18[()2+()3+…
+()n]=
18•=(1-)<(13分)
點評:本題考查等比數(shù)列的判定,通項公式求解,數(shù)列求和,考查變形構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、計算能力.一般的形如an+1=pan+q型遞推公式,均可通過兩邊加上一個合適的常數(shù),變形構(gòu)造出一個新的等比數(shù)列.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
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數(shù)列{a
n}的通項公式是a
n=
(n∈N
*),則{a
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8等于( )
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如圖所示,當(dāng)n≥2時,將若干點擺成三角形圖案,每條邊(包括兩個端點)有n個點,若第n個圖案中總的點數(shù)記為a
n,則a
1+a
2+a
3+…+a
10=( 。
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已知x、y、z均為正實數(shù),且x+y+z=1.求證:
+
+
≥
.
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在極坐標(biāo)系中,已知圓ρ=2cosθ與直線5ρcosθ+12ρsinθ+a=0相切,求實數(shù)a的值.
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題型:
已知數(shù)列{a
n}有a
1=a,a
2=p(p為常數(shù)),對任意的n∈N,有
Sn=.
(1)求a的值;
(2)判斷數(shù)列{a
n}是否為等差數(shù)列;
(3)對于數(shù)列{b
n},假如常數(shù)b滿足對任意的n∈N
*都有b
n<b成立,則稱b為數(shù)列{b
n}的“上界”.令
pn=+,求證:3是數(shù)列{p
1+p
2+…+p
n-2n}的“上界”.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
已知各項均大于1的數(shù)列{a
n}滿足:
a1=,an+1=(an+)(n∈N
*).
(Ⅰ)求證:數(shù)列
{log5}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求證:
++…+<n+(n∈N*).
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題型:
設(shè)集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},求能使A⊆A∩B成立的a值的集合.
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題型:
設(shè)三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且acosC=b-
c.
(Ⅰ)求角A的大。
(Ⅱ)若a=
,求三角形ABC面積S的最大值.
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