Question

已知（

3	x2

+3x²）ⁿ開式各項系數(shù)的和比它的二項式系數(shù)的和大992．
（Ⅰ）求n；
（Ⅱ）求展開式中x⁶的項；
（Ⅲ）求展開式系數(shù)最大項．

Answer 1

考點：二項式定理的應(yīng)用

專題：二項式定理

分析：（Ⅰ）由題意可得4ⁿ=2ⁿ+992，解得2ⁿ 的值，可得n的值．
（Ⅱ）先求出二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于6，求得r的值，即可求得展開式中的含x⁶的項．
（Ⅲ）根據(jù)第r+1項的展開式系數(shù)為=

C

r 5

•3^r，r=0，1，2，3，4，5，可得展開式系數(shù)最大項．

解答： 解：（Ⅰ）∵（

3	x2

+3x²）ⁿ開式各項系數(shù)的和比它的二項式系數(shù)的和大992，
∴4ⁿ=2ⁿ+992，即 2²ⁿ-2ⁿ-32×31=0，解得2ⁿ=32，∴n=5．
（Ⅱ）由于展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r 5

•3^r•x

10+4r

3

，
令

10+4r

3

=6，求得 r=2，故展開式中x⁶的項為 T₃=

C

2 5

×9×x⁶=90x⁶．
（Ⅲ）由于第r+1項的展開式系數(shù)為=

C

r 5

•3^r，r=0，1，2，3，4，5，
故當(dāng)r=4時，展開式系數(shù)

C

r 5

•3^r 取得最大值，故展開式系數(shù)最大項為T₅=405x

26

3

．

點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．