【題目】如圖所示，在梯形CDEF中，四邊形ABCD為正方形，且，將沿著線段AD折起，同時將沿著線段BC折起，使得E，F兩點重合為點P．

求證：平面平面ABCD；

求直線PB與平面PCD的所成角的正弦值．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

利用折疊前后AD與AB，AE的垂直關系不變容易證明；取AB中點O，利用的結果，容易建立空間坐標系，得到各點坐標，進而得到向量，法向量，代入公式計算即可．

證明：四邊形ABCD為正方形，

，，

，

平面PAB，

平面平面PAB；

以AB中點O為原點建立空間坐標系如圖，

，

，

，0，，，，

，，，

設是平面PCD的一個法向量，

則，

，

取，則，

設直線PB與平面PCD的所成角為，

則

，

故直線PB與平面PCD的所成角的正弦值為：．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，平面平面，△為等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，，，，，

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：，過點且與軸不重合的直線與相交于兩點，點，直線與直線交于點.

（1）當垂直于軸時，求直線的方程；

（2）證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，A 為橢圓的下頂點，過 A 的直線 l 交拋物線于B、C 兩點，C 是 AB 的中點．

（I）求證：點C的縱坐標是定值；

（II）過點C作與直線 l 傾斜角互補的直線l交橢圓于M、N兩點，求p的值，使得△BMN的面積最大．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知正整數(shù)n都可以唯一表示為 ①的形式，其中m為非負整數(shù)，（，），.試求①中的數(shù)列嚴格單調遞增或嚴格單調遞減的所有正整數(shù)n的和.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點到焦點的最長距離為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點P（0，2）的直線l（不過原點O）與橢圓C交于兩點A、B，M為線段AB的中點．

（�。┳C明：直線OM與l的斜率乘積為定值；

（ⅱ）求△OAB面積的最大值及此時l的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】5G網(wǎng)絡是第五代移動通信網(wǎng)絡，其峰值理論傳輸速度可達每8秒1GB，比4G網(wǎng)絡的傳輸速度快數(shù)百倍．舉例來說，一部1G的電影可在8秒之內下載完成．隨著5G技術的誕生，用智能終端分享3D電影、游戲以及超高畫質（UHD）節(jié)目的時代正向我們走來．某手機網(wǎng)絡研發(fā)公司成立一個專業(yè)技術研發(fā)團隊解決各種技術問題，其中有數(shù)學專業(yè)畢業(yè)，物理專業(yè)畢業(yè)，其它專業(yè)畢業(yè)的各類研發(fā)人員共計1200人．現(xiàn)在公司為提高研發(fā)水平，采用分層抽樣抽取400人按分數(shù)對工作成績進行考核，并整理得如上頻率分布直方圖（每組的頻率視為概率）．

（1）從總體的1200名學生中隨機抽取1人，估計其分數(shù)小于50的概率；

（2）研發(fā)公司決定對達到某分數(shù)以上的研發(fā)人員進行獎勵，要求獎勵研發(fā)人員的人數(shù)達到30%，請你估計這個分數(shù)的值；

（3）已知樣本中有三分之二的數(shù)學專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分數(shù)不低于70分，樣本中不低于70分的數(shù)學專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員人數(shù)與物理及其它專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)和相等，估計總體中數(shù)學專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已兩動圓和，把它們的公共點的軌跡記為曲線，若曲線與軸的正半軸交點為，且曲線上異于點的相異兩點、滿足.

(1)求曲線的方程；

(2)證明直線恒經(jīng)過一定點，并求出此定點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，點為圓：上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長至點，使得，點的軌跡記為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若點，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點，試問在曲線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.

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