Question

【題目】已知為正整數(shù)，數(shù)列滿足， ，設(shè)數(shù)列滿足

（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；

（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，對任意的，均存在，使得成立，求滿足條件的所有整數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：

（1）由，可得，兩邊開方得，于是證得數(shù)列為等比數(shù)列．（2）由（1）可得，故，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)等差數(shù)列可得，由此求得或，然后分別驗(yàn)證可得符合條件．（3）由題意可得有成立，即對任意的，均存在成立，且為正整數(shù)，然后將分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，最后可得時(shí)符合題意．

試題解析：

(1)證明：∵，

∴，

又，

∴，

數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列．

(2)解:由(1)得，

∴，

∴

數(shù)列是等差數(shù)列，

∴，

，

解得或．

當(dāng)時(shí)，，是關(guān)于n的一次函數(shù)，因此數(shù)列是等差數(shù)列；

當(dāng)時(shí)，，由于，不是常數(shù)，因此數(shù)列不是等差數(shù)列．

綜上可得．

(3)解:由(2)得，

對任意的，均存在，使得成立，

即有，

化簡得，

當(dāng)時(shí)，，對任意的，符合題意；

當(dāng)時(shí)，若，則 不符合題意.對任意的，也不符合題意.

綜上可得，當(dāng)，對任意的，均存在，使得成立.