Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

．且過(guò)點(diǎn)（3，-1）．
（1）求橢圓C的方徎；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線l：x=-2

2

上，過(guò)P作直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，使得PM=PN，再過(guò)P作直線l′⊥MN，直線l′是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

9 a2 + 1 b2 =1 c2 a2 = a2-b2 a2 =( 6 3 )2

，同此能求出橢圓C的方程．
（2）直線l的方程為x=-2

2

，設(shè)P（-2

2

，y₀），y0∈(-

2 3

3

，

2 3

3

)，當(dāng)y₀≠0時(shí)，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由題意知x₁≠x₂，利用點(diǎn)差法l′的方程為y=-

3y0

2 2

(x+

4 2

3

)，從而得到l′恒過(guò)定點(diǎn)(-

4 2

3

，0)．當(dāng)y₀=0時(shí)，直線MN為x=-2

2

，由此推導(dǎo)出l′恒過(guò)定點(diǎn)(-

4 2

3

，0)．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

．且過(guò)點(diǎn)（3，-1），
∴

9 a2 + 1 b2 =1 c2 a2 = a2-b2 a2 =( 6 3 )2

，
解得a²=12，b²=4，
∴橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）∵直線l的方程為x=-2

2

，
設(shè)P（-2

2

，y₀），y0∈(-

2 3

3

，

2 3

3

)，
當(dāng)y₀≠0時(shí)，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由題意知x₁≠x₂，
聯(lián)立

x12 12 + y12 4 =1 x22 12 + y22 4 =1

，
∴

x12-x22

12

+

y12-y22

4

=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

1

3

•

x1+x2

y1+y2

，
又∵PM=PN，∴P為線段MN的中點(diǎn)，
∴直線MN的斜率為-

1

3

•

-2 2

y0

=

2 2

3y0

，
又l′⊥MN，∴l(xiāng)′的方程為y-y0=-

3y0

2 2

(x+2

2

)，
即y=-

3y0

2 2

(x+

4 2

3

)，
∴l(xiāng)′恒過(guò)定點(diǎn)(-

4 2

3

，0)．
當(dāng)y₀=0時(shí)，直線MN為x=-2

2

，
此時(shí)l′為x軸，也過(guò)點(diǎn)(-

4 2

3

，0)，
綜上，l′恒過(guò)定點(diǎn)(-

4 2

3

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線是否恒過(guò)定點(diǎn)的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．