Question

4．若不等式（x-a）²+（x-lna）²＞m對(duì)任意x∈R，a∈（0，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• B． （-∞，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• C． （-∞，$\sqrt{2}$）
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 設(shè)函數(shù)f（x）=2x²-2（a+lna）x+a²+ln²a，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）_min=$\frac{1}{2}$（a-lna）²，再構(gòu)造函數(shù)g（a）=a-lna，利用導(dǎo)數(shù)求出g（a）_min=g（1）=1-ln1=1，繼而得到f（x）的最小值，繼而求出參數(shù)的取值范圍

解答 解：∵（x-a）²+（x-lna）²＞m，
∴m＜2x²-2（a+lna）x+a²+ln²a對(duì)任意x∈R，a∈（0，+∞）恒成立，
設(shè)f（x）=2x²-2（a+lna）x+a²+ln²a，
∴f′（x）=4x-2（a+lna），
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$（a+lna），
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＞$\frac{1}{2}$（a+lna），函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即x＜$\frac{1}{2}$（a+lna），函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f[$\frac{1}{2}$（a+lna）]=$\frac{1}{2}$（a-lna）²，
再設(shè)g（a）=a-lna，
∴g′（a）=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$，
令g′（a）=0，解得a=1，
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)g（a）為增函數(shù)，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)g（a）為減函數(shù)，
∴g（a）_min=g（1）=1-ln1=1，
∴f（x）_min=f[$\frac{1}{2}$（a+lna）]=$\frac{1}{2}$（a-lna）²=$\frac{1}{2}$g（1）=$\frac{1}{2}$，
∴a＜$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題