Question

14．已知四邊形ABCD是邊長為$\sqrt{3}$的菱形，對角線AC=2$\sqrt{2}$．分別過點B，C，D向平面ABCD外作3條相互平行的直線BE、CF、DG，其中點E，F(xiàn)在平面ABCD同側(cè)，CF=8，且平面AEF與直線DG相交于點G，GE∩AF=P，AC∩BD=O，連結(jié)OP．
（Ⅰ）證明：OP∥DG；
（Ⅱ）當點F在平面ABCD內(nèi)的投影恰為O點時，求四面體FACE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由線面平行的判斷證明CF∥面BDGE，然后結(jié)合線面平行的性質(zhì)證得OP∥DG；
（Ⅱ）把四面體FACE的體積寫為V_F-ACE，化為V_E-ACF，進一步轉(zhuǎn)化為V_B-ACF，再轉(zhuǎn)化為V_F-ABC得答案．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
∵CF∥BE，BE?平面BDGE，CF?面BDGE，
∴CF∥面BDGE，
又CF?面ACF，面BDGE∩面ACF=OP，∴CF∥OP．
又CF∥GD，∴OP∥GD；
（Ⅱ）解：V_F-ACE=V_E-ACF．
∵BE∥CF，∴V_E-ACF=V_B-ACF=V_F-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC•OF，
又∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•OB$=$\sqrt{2}$，OF=$\sqrt{F{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{62}$．
∴V_F-ACE=V_F-ABC=$\frac{1}{3}$$\sqrt{2}•\sqrt{62}$=$\frac{2}{3}\sqrt{31}$．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．