Question

14．已知命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{2m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{m-1}$=1表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸的雙曲線；命題q：關(guān)于m的不等式m²-（2a+1）m+a（a+1）≤0成立．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，且p∧q為真，求實數(shù)m的取值范圍．
（2）若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由p∧q為真，可得p真且q真，P真：則設(shè)A={m|$\left\{{\begin{array}{l}{2m-1＞0}\\{m-1＜0}\end{array}}\right.$}，q真：B={m|m²-（2a+1）m+a（a+1）≤0}={m|a≤m≤a+1}，由$a=\frac{1}{2}$，可得B，即可得出A∩B．
（2）由（1）知設(shè)A={m|$\frac{1}{2}＜m＜1$}，B={a≤m≤a+1}，由p是q的充分不必要條件，可得A是B的真子集，即可得出．

解答 解：（1）∵p∧q為真，∴p真且q真         …（1分）
P真：則設(shè)A={m|$\left\{{\begin{array}{l}{2m-1＞0}\\{m-1＜0}\end{array}}\right.$}=$\{m|\frac{1}{2}＜m＜1\}$，…（2分）
q真：B={m|m²-（2a+1）m+a（a+1）≤0}={m|a≤m≤a+1}…（3分）
∵$a=\frac{1}{2}$，∴B=$\{m|\frac{1}{2}≤m≤\frac{3}{2}\}$…（4分）
∴A∩B=$\{m|\frac{1}{2}＜m＜1\}$
∴實數(shù)m的取值范圍為：$\{m|\frac{1}{2}＜m＜1\}$…（6分）
（2）由（1）知設(shè)A={m|$\frac{1}{2}＜m＜1$}，B={a≤m≤a+1}…（8分）
∵p是q的充分不必要條件，∴A是B的真子集
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{2}}\\{a+1≥1}\end{array}}\right.$…（10分）
解得$0≤a≤\frac{1}{2}$，…（11分）
∴實數(shù)a的取值范圍為：$\{a|0≤a≤\frac{1}{2}\}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了簡易邏輯的應(yīng)用、不等式解法、集合的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．