Question

已知關(guān)于x的方程x²+ax+2b=0（a，b∈R）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)，則|4a+3b-12|的取值范圍是

（16，21）

．

Answer 1

分析：利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，將方程根的分布轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二元一次不等式組，利用線性規(guī)劃的知識(shí)去求解．

解答：解：設(shè)f（x）=x²+ax+2b，
∵關(guān)于x的方程x²+ax+2b=0（a，b∈R）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)，
∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，
即

2b＞0 1+a+2b＜0 4+2a+2b＞0

，
∴

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

，
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：
設(shè)4a+3b-12=z，
則4a+3b-12=z，
即b=-

4

3

a+4+z，
平移直線b=-

4

3

a+4+z，
由圖象可知當(dāng)直線b=-

4

3

a+4+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（-1，0）時(shí)，直線b=-

4

3

a+4+z的截距最大，此時(shí)z最大，
即z=-4-12=-16，
當(dāng)直線b=-

4

3

a+4+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線b=-

4

3

a+4+z的截距最小，此時(shí)z最小，
由

a+2b+1=0 a+b+2=0

，解得a=-3，b=1，即A（-3，1），
代入z=4a+3b-12=-3×4+3×1-12=-12+3-12=-21，
∴-21＜z＜-16，
即16＜|z|＜21．
∴|4a+3b-12|的取值范圍是（16，21），
故答案為：（16，21）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的基本方法．綜合性較強(qiáng)，難度較大．