Question

某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學(xué)年中舉行5次統(tǒng)一測(cè)試，學(xué)生如果通過(guò)其中2次測(cè)試即可獲得足夠?qū)W分升上大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)，不用參加其余的測(cè)試，而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加5次測(cè)試．假設(shè)某學(xué)生每次通過(guò)測(cè)試的概率都是

1

3

，每次測(cè)試通過(guò)與否互相獨(dú)立．規(guī)定：若前4次都沒(méi)有通過(guò)測(cè)試，則第5次不能參加測(cè)試．
（Ⅰ）求該學(xué)生考上大學(xué)的概率．
（Ⅱ）如果考上大學(xué)或參加完5次測(cè)試就結(jié)束，記該生參加測(cè)試的次數(shù)為ξ，求P（ξ＞3）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）記“該生考上大學(xué)”的事件為事件A，其對(duì)立事件為

.

A

，利用對(duì)立事件概率的計(jì)算公式能求出該學(xué)生考上大學(xué)的概率．
（Ⅱ）該生參加測(cè)試次數(shù)ξ的可能取值為2，3，4，5．P（ξ＞3）=P（ξ=4）+P（ξ=5），由此能求出結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）記“該生考上大學(xué)”的事件為事件A，
其對(duì)立事件為

.

A

，
則P(

.

A

)=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3(

2

3

)+(

2

3

)4=

64

243

+

16

81

=

112

243

．
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-

112

243

=

131

243

．…（6分）
（Ⅱ）該生參加測(cè)試次數(shù)ξ的可能取值為2，3，4，5．
P(ξ=4)=

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2•

1

3

+(

2

3

)4=

4

27

+

16

81

=

28

81

，
P(ξ=5)=

C

1 4

•(

1

3

)•(

2

3

)3=

32

81

．
∴P（ξ＞3）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=

20

27

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．