Question

已知橢圓C的中心在原點O，其右焦點為F（1，0），長軸長為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）斜率為1的直線l經(jīng)過點F，交橢圓C于M，N兩點，P為橢圓位于第四象限上一點，且OP⊥MN，求四邊形OMPN的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓右焦點為F（1，0），長軸長為4，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）直線l的方程為y=x-1，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，計算|MN|，求出|OP|，即可求四邊形OMPN的面積．

解答： 解；（1）由題意c=1，2a=4
．∴a=2，b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的方程

x2

4

+

y2

3

=1
（2）直線l的方程為y=x-1，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，y₂），P（x₀，y₀），
∴

y=x-1 x2 4 + y2 3 =1

，∴7x²-8x-8=0，∴x₁+x₂=

8

7

，x₁x₂=

8

7

，|MN|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

24

7

，
OP所在直線為y=-x，∴

y=-x x2 4 + y2 3 =1

，∴x2=

12

7

，
|OP|2

=x

2 0

+

y

2 0

=

24

7

，
S四邊形OMPN=

1

2

|MN|•|OP|=

1

2

•

24

7

•

24 7

=

24 42

49

．

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．