Question

17．設函數f（t）=t+$\frac{1}{t}$，則
（1）f（t）=t+$\frac{1}{t}$在[$\frac{1}{3}$，1]內的最大值和最小值分別是多少？
（2）f（t）=t+$\frac{1}{t}$在[$\frac{1}{3}$，4]內的最大值和最小值分別是多少？

Answer 1

分析 （1）求導f′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$，從而確定函數的單調性，從而求最值．
（2）由（1）知，f（t）在[$\frac{1}{3}$，1]上是減函數，在[1，4]上是增函數，從而求最值．

解答 解：（1）∵f（t）=t+$\frac{1}{t}$，
∴f′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
∴當t∈[$\frac{1}{3}$，1時，f′（t）≤0，
故f（t）在[$\frac{1}{3}$，1]上是減函數，
故f_max（t）=f（$\frac{1}{3}$）=3+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$，f_min（t）=f（1）=1+1=2；
（2）由（1）知，
f（t）在[$\frac{1}{3}$，1]上是減函數，在[1，4]上是增函數，
且f（1）=2，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{10}{3}$，f（4）=4+$\frac{1}{4}$=$\frac{17}{4}$；
故f（t）=t+$\frac{1}{t}$在[$\frac{1}{3}$，4]內的最大值為$\frac{17}{4}$，最小值為2．

點評 本題考查了導數的綜合應用及函數的最值的求法應用．