Question

4．正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)恰好為拋物線y²=2px（p＞0）的頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，則此三角形的邊長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$p．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，若正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y²=2px（p＞0）上，則另外兩個(gè)定點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，就可的直線OA的傾斜角，據(jù)此求出直線OA的方程，與拋物線方程聯(lián)立解出A點(diǎn)坐標(biāo)，就可求出正三角形的邊長(zhǎng)．

解答 解：∵拋物線y²=2px關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴若正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y²=2px（p＞0）上，
則A，B點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴直線OA傾斜角為30°，斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴直線OA方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
代入拋物線方程，可得A（6p，2$\sqrt{3}$p），則B（6p，-2$\sqrt{3}$p），
∴|AB|=4$\sqrt{3}$p
∴這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$p
故答案為：4$\sqrt{3}$p．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的對(duì)稱性，直線方程的點(diǎn)斜式，以及曲線交點(diǎn)的求法，屬于圓錐曲線的綜合題．