Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，對于n∈N^*，以a_n，a_n+1為系數(shù)的一元二次方程a_nx²-2a_n+1x+1=0都有實數(shù)根α，β，且滿足（α-1）（β-1）=2．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n-

1

3

}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系得到α+β與αβ，代入（α-1）（β-1）=2后整理得到an+1-

1

3

=-

1

2

(an-

1

3

)，再由a1-

1

3

=

8

3

≠0可得數(shù)列{a_n-

1

3

}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求出等比數(shù)列{a_n-

1

3

}的通項公式，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅲ）利用分組求和及等比數(shù)列的前n項和公式求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答： （Ⅰ）證明：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到α+β=

2an+1

an

，αβ=

1

an

，
由（α-1）（β-1）=2，得αβ-(α+β)+1=

1

an

-

2an+1

an

+1=2，
整理得：an+1-

1

3

=-

1

2

(an-

1

3

)，
又a₁=3，
∴a1-

1

3

=

8

3

，
∴數(shù)列{a_n-

1

3

}是以

8

3

為首項，以-

1

2

為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由數(shù)列{a_n-

1

3

}是以

8

3

為首項，以-

1

2

為公比的等比數(shù)列，得
an-

1

3

=

8

3

•(-

1

2

)n-1，
∴an=

8

3

•(-

1

2

)n-1+

1

3

；
（Ⅲ）解：∵an=

8

3

•(-

1

2

)n-1+

1

3

，
∴{a_n}的前n項和S_n=

8

3

[(-

1

2

)0+(-

1

2

)1+(-

1

2

)2+…+(-

1

2

)n-1]+

n

3

=

8

3

•

1×[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

+

n

3

=

16

9

[1-(-

1

2

)n]+

n

3

．

點評：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列前n項和的求法，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，是中檔題．