Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}的前n項和S_n滿足S_n=1-b_n，（n∈N⁺），且a₂-1=

1

b1

，a₅=

1

b3

+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式：
（Ⅱ）設(shè)T_n為數(shù)列{a_n．b_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，建立方程組，求出首項和公差，即可求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式：
（Ⅱ）利用錯位相減法即可求數(shù)列{a_n．b_n}的前n項和．

解答： 解（Ⅰ）由S_n=1-b_n     （1）
知當(dāng)n=1時，b₁=1-b₁，∴b₁=

1

2

．
當(dāng)n≥2時，S_n-1=1-b_n-1，（2）
（1）-（2）得2b_n=b_n-1，
∴

bn

bn-1

=

1

2

（n≥2），
∴{b_n}是以

1

2

為首項以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴bn=

1

2n

，
∴b3=

1

8

，
∴a₂=3，a₅=9，∴3d=a₅-a₂=6，∴d=2．
故a₁=1，a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）∵a_n．b_n=

2n-1

2n

，
∴S_n=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

           ①，

1

2

S_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

     ②
①-②得

1

2

S_n=

1

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

，
∴S_n=3-

2n+3

2n

．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和，利用錯誤相減法是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力．