Question

已知函數(shù)f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1（x∈R），其中t∈R．
（Ⅰ）當(dāng)t=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)t≠0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)t=1時(shí)，f（x）=4x³+3x²-6x，f′（x）=12x²+6x-6，由此能求出曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程．
（Ⅱ）f′（x）=12x²+6tx-6t²，令f′（x）=0，解得x=-t，或x=

t

2

．由此進(jìn)行分類討論，能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）當(dāng)t＞2時(shí)，

t

2

＞1，f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t²+4t+3≤-6×4+4×2+3＜0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)t=1時(shí)，f（x）=4x³+3x²-6x，f（0）=0，f'（x）=12x²+6x-6f'（0）=-6．
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=-6x．-------4分
（Ⅱ）f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f'（x）=0，解得x=-t，或x=

t

2

．
因?yàn)閠≠0，以下分兩種情況討論：
（1）若t＜0，則

t

2

＜-t，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	(-∞， t 2 )	( t 2 ，-t)	（-t，+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，

t

2

)，(-t，+∞)；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(

t

2

，-t)．
（2）若t＞0，則-t＜

t

2

，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，t）	(-t， t 2 )	( t 2 ，+∞)
f'（x）	+	-	+
f（x）

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，-t)，(

t

2

，+∞)；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-t，

t

2

)．--------10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)t＞0時(shí)，f（x）在(0，

t

2

)內(nèi)的單調(diào)遞減，在(

t

2

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，
當(dāng)t＞2時(shí)，

t

2

＞1，f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t²+4t+3≤-6×4+4×2+3＜0．
所以對(duì)任意t＞2，在區(qū)間（0，1）內(nèi)存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)．-------------14分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)零點(diǎn)、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了計(jì)算能力和分類討論的思想．