Question

設(shè)A₁，A₂，…，A_n為集合S={1，2，…，n}的n個(gè)不同子集（n≥4），為了表示這些子集，作n行n列的數(shù)陣，規(guī)定第i行與第j列的數(shù)為a_ij=

0，i∉Aj 1，i∈Aj

 則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（　　）
①數(shù)陣中第1列的數(shù)全是0當(dāng)且僅當(dāng)A₁=∅；
②數(shù)陣中第n列的數(shù)全是1當(dāng)且僅當(dāng)A_n=S；
③數(shù)陣中第j行的數(shù)字和表明元素j屬于A₁，A₂，…，A_n中的幾個(gè)子集；
④數(shù)陣中所有的n²個(gè)數(shù)字之和不小于n；
⑤數(shù)陣中所有的n²個(gè)數(shù)字之和不大于n²-n+1．

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專題：集合,推理和證明

分析：由集合的子集的概念和規(guī)定第i行與第j列的數(shù)為a_ij=

0，i∉Aj 1，i∈Aj

，對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可．

解答： 解：①由于a_ij=

0，i∉Aj 1，i∈Aj

，故A₁=∅可推出a_i1=0，即數(shù)陣中第1列的數(shù)全是0，反之，也成立，
故①對(duì)；
②若數(shù)陣中第n列的數(shù)全是1，則i∈A₁，A₂，…A_n，即有A_n=S，反之顯然成立，故②對(duì)；
③數(shù)陣中第j行的數(shù)字和表明元素j屬于A₁，A₂，…，A_n中的幾個(gè)子集，由規(guī)定顯然不成立，
故③不正確；
④當(dāng)A₁，A₂，…，A_n為元素均不相同的集合，則數(shù)陣中所有的n²個(gè)數(shù)字之和為n，
故數(shù)陣中所有的n²個(gè)數(shù)字之和不小于n，即④正確；
⑤舉n=4，A₁={1，3，4}，A₂={2，3，4}，A₃={1，2，4}，A₄={1，2，3，4}，作出的n行n列的所有數(shù)字和為
13=4²-4+1，即數(shù)陣中所有的n²個(gè)數(shù)字之和不大于n²-n+1，故⑤正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合的子集的概念，考查簡(jiǎn)單的合情推理，以及對(duì)規(guī)定的理解和運(yùn)用，屬于中檔題．