Question

定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）=x²+x，g（x）=

1

3

x³-2x+m．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（2）若f（x）≥g（x）對任意的x∈[-4，4]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求切線方程，就是求k=f′（1），f（1），然后利用點(diǎn)斜式求直線方程，問題得以解決；
（2）令h（x）=g（x）-f（x），要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）_max≤0，轉(zhuǎn)化為求最值問題．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+x
∴f′（x）=2x+1，f（1）=2，
∴f′（1）=3，
∴所求切線方程為y-2=3（x-1），
即3x-y-1=0；
（2）令h（x）=g（x）-f（x）=

1

3

x³-2x+m-x^2_-x=

1

3

x³-3x+m-x²
∴h′（x）=x²-2x-3，
當(dāng)-4＜x＜-1時，h′（x）＞0，
當(dāng)-1＜x＜3時，h′（x）＜0，
當(dāng)3＜x＜4時，h′（x）＞0，
要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）_max≤0，
由上知h（x）的最大值在x=-1或x=4取得，
而h（-1）=m+

5

3

，h（4）=m-

20

3

，
∵m+

5

3

＞m-

20

3

，
∴m+

5

3

≤0，
即m≤-

5

3

．

點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)再函數(shù)應(yīng)用中，求切線方程就是求某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，再求參數(shù)的取值范圍中，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題．