【題目】已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù),分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),且.

1)求橢圓的方程;

2)已知過左頂點(diǎn)的直線與橢圓另交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),在平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出該點(diǎn)的坐標(biāo),并求面積的最大值;若不存在,說明理由.

【答案】1;(2,.

【解析】

1)根據(jù)題意,由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出,利用,求得,根據(jù)離心率,即可求出雙曲線的離心率,結(jié)合題意,得出橢圓的離心率,根據(jù)橢圓中,得出,進(jìn)而求出,最后利用,求出,即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)設(shè)直線的方程為:,,可求出與軸交于點(diǎn),聯(lián)立方程組,寫出韋達(dá)定理,進(jìn)而可求出,設(shè)點(diǎn),求出,通過,化簡后通過直線過定點(diǎn)得出,由弦長公式求出,以及利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離,最后利用,化簡后可得出面積的最大值.

解:(1)由題可知,雙曲線

,,

所以

所以雙曲線的離心率:,

由于橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù),

則橢圓的離心率為,

分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),且,

,得,所以,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.

2)由(1)可知,,,

直線過點(diǎn),與橢圓另交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),

則設(shè)直線的方程為:,

,得,則

代入得:,

,而,則,

由于,

設(shè)點(diǎn),則,,

要使得,

,則

,則過定點(diǎn),

即在平面內(nèi)存在一定點(diǎn),使得恒成立,

由于

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,

,

所以的面積為:

,

因?yàn)?/span>,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),取等號,

,

所以的最大值為,即面積的最大值為.

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②圖象關(guān)于點(diǎn)對稱;

③在上是增函數(shù);

④在上是增函數(shù);

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A.4B.3C.2D.1

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A. P1P2 B. P1=P2 C. P1+P2 D. P1<P2

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A.B.C.D.

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