Question

【題目】設(shè)函數(shù)（其中）．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，討論函數(shù)的零點個數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)在定義域上只有唯一的零點.

【解析】試題分析：（1）由題意，求得，分類討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由（1）值，再分和兩種討論，利用函數(shù)的圖象，進而確定函數(shù)的零點個數(shù)．

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域為，，

①當時，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，

②當時，令，解得或，

所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

③當時，，在上單調(diào)遞增，

④當時，令，解得或，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2），

①當時，，又在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上只有一個零點，

在區(qū)間中，因為，

取，于是，

又在上單調(diào)遞減，故在上也只有一個零點，

所以，函數(shù)在定義域上有兩個零點；

②當時，在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，只有．

而在區(qū)間內(nèi)，即在此區(qū)間內(nèi)無零點．

所以，函數(shù)在定義域上只有唯一的零點．