Question

【題目】某農(nóng)場(chǎng)預(yù)算用5600元購(gòu)買單價(jià)為50元（每噸）的鉀肥和20元（每噸）的氮肥，希望使兩種肥料的總數(shù)量（噸）盡可能的多，但氮肥數(shù)不少于鉀肥數(shù)，且不多于鉀肥數(shù)的1.5倍

(Ⅰ)設(shè)買鉀肥噸，買氮肥噸，按題意列出約束條件、畫出可行域，并求鉀肥、氮肥各買多少才行？

(Ⅱ)已知，是坐標(biāo)原點(diǎn)， 在(Ⅰ)中的可行域內(nèi)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 購(gòu)買鉀肥70噸，氮肥105噸時(shí)，兩種肥料的總數(shù)量最大為175噸(Ⅱ)

【解析】

試題分析：(Ⅰ)首先由已知條件中的限定條件可得到關(guān)于x,y的不等式，從而確定線性約束條件，進(jìn)而由不等式得到可行域，通過對(duì)目標(biāo)函數(shù)的變形，將z賦予特定的幾何含義：直線的截距，從而求得z取最值時(shí)x,y的取值；(Ⅱ) 將代入點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為，借助于斜率求解s的取值范圍

試題解析：(Ⅰ)設(shè)肥料總數(shù)為，

由題意得約束條件

，即

畫出可行域（如圖）

目標(biāo)函數(shù)：，即，

表示斜率為，軸上截距為的平行直線系.

當(dāng)直線過點(diǎn)N時(shí)，最大.

聯(lián)立方程，解得

此時(shí).

購(gòu)買鉀肥70噸，氮肥105噸時(shí)，兩種肥料的總數(shù)量最大為175噸

(Ⅱ)，，為的夾角

.有圖可知：

當(dāng)點(diǎn)在線段時(shí)，最大為，此時(shí)s最大值為；

當(dāng)點(diǎn)在線段時(shí)，最小為，此時(shí)s最小值為.

另解：，，代入可得