在直三棱柱ABC-₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，ÐACB 90°，AC1，AA₁，D為AB中點(diǎn)．

    （1）求證：CD^平面ABB₁A；

（2）求平面A₁AB與平面A₁BC所成二面角的余弦值．

如圖三棱柱ABC-A¢B¢C¢底面ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)面ABB¢A¢是菱形，且ÐA¢AB=60°，M是A¢B¢中點(diǎn)，已知BM^AC．

    （1）求證：BM^平面ABC；

    （2）證明：平面ABB¢A¢^平面ABC；

    （3）求異面直線AA¢和BC所成角的大�。�

已知四棱錐P-ABCD，PB^AD，側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°．

    （1）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；

    （2）求面APB與面CPB所成二面角的大�。�

已知：如圖，三棱錐P-ABC中，AP=AC，PB=2，將此三棱錐沿三條側(cè)棱剪開(kāi)，其展開(kāi)圖是一個(gè)直角梯形P₁P₂P₃A．

    （1）求證：側(cè)棱PB^AC；

    （2）求側(cè)面PAC與底面ABC所成的二面角大�。�

已知空間四邊形ABCD的各個(gè)邊長(zhǎng)和對(duì)角線長(zhǎng)都是a，DE是DABD中AB邊上的高，F為AE中點(diǎn)，過(guò)F有一平面和AC、DE都平行．

    （1）求該平面與空間四邊形各邊截得各點(diǎn)組成的四邊形FGMN的面積；

    （2）求證：BD與截面和空間四邊形ABCD中的兩個(gè)面ABD、BCD的交線共點(diǎn)

ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，M，N分別為DA，BC邊上的點(diǎn)，并且MN∥AB交AC于O點(diǎn)，沿MN折成直二面角AB-MN-CD，如圖所示．

    （1）求證：不論MN怎樣平行移動(dòng)(AB∥MN)，ÐAOC的大小不變；

    （2）當(dāng)MN在怎樣的位置時(shí)，點(diǎn)N到平面ACD的距離有最大值，并求出這個(gè)最大值．

計(jì)算不超過(guò)120的合數(shù)和質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)

設(shè)a是正整數(shù)，aº1(mod4)．

    求證： (nÎN)能被2^n-1整除

設(shè)整數(shù)a、b、c為三角形三邊長(zhǎng)，a+b=nÎN，1£c£n-1，求這樣的整邊三角形的個(gè)數(shù)

設(shè)nÎN₊，集合{1，2，…，2n}的一個(gè)排列(x₁，x₂，…，x_2n)具有性質(zhì)P，是指在{1，2，…，2n-1}當(dāng)中至少有一個(gè)i，使|x_i-x_i+1|=n．

求證：對(duì)于任何具有性質(zhì)P的排列比不具有性質(zhì)P的排列的個(gè)數(shù)多