已知非零向量e₁、e₂不共線，如果＝e₁＋e₂，＝2e₁＋8e₂，＝3e₁－3e₂，求證A、B、C、D共面．

用坐標(biāo)法證明平面內(nèi)任意一點(diǎn)到矩形的一對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)的距離平方和等于這個(gè)點(diǎn)到另一對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)的距離平方和．

A、B是拋物線y²＝2px(p＞0)上的兩點(diǎn)，滿足OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．求證：

(1)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積分別為定值；

(2)直線AB經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．

設(shè)A、B是拋物線y²＝2px(x＞0)上不同于頂點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)A與拋物線頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，且BC∥x軸．證明直線AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F．

設(shè)拋物線y²＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．

設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)垂直于軸的直線和拋物線交于兩點(diǎn)B、C，經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)P垂直于軸的直線和軸交于點(diǎn)Q，求證線段|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中項(xiàng)．

由雙曲線x²－y²＝a²上一動(dòng)點(diǎn)P引兩漸近線的垂線PQ，PR，試證：矩形PQRO的面積是定值．

已知：p：x²－8x－20＞0，q：x²－2x＋1－a²＞0．若p是q的充分不必要條件，求證實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知ab≠0，求證：a＋b＝1的充要條件是a³＋b³＋ab－a²－b²＝0．

已知a、b、c均為實(shí)數(shù)，證明ac＜0是關(guān)于x的方程ax²＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件．