已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

3

，實(shí)軸長(zhǎng)為2；
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x²+y²=5上，求實(shí)數(shù)m的值．

已知雙曲線過(guò)點(diǎn)（3，-2）且與橢圓4x²+9y²=36有相同的焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)M在雙曲線上，F(xiàn)₁、F₂為左、右焦點(diǎn)，且|MF₁|=2|MF₂|，試求△MF₁F₂的面積．

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率為

3

，點(diǎn)（

3

，0）是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求雙曲線的方程；
（2）經(jīng)過(guò)的雙曲線右焦點(diǎn)F₂作傾斜角為30°直線l，直線l與雙曲線交于不同的A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)．

如圖，焦點(diǎn)在x軸的橢圓，離心率A，且過(guò)點(diǎn)A（-2，1），由橢圓上異于點(diǎn)A的P點(diǎn)發(fā)出的光線射到A點(diǎn)處被直線Q反射后交橢圓于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與P點(diǎn)不重合）．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：直線PQ的斜率為定值；
（3）求△OPQ的面積的最大值．

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x²=4y的焦點(diǎn)，離心率等于

2 5

5

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求證λ₁+λ₂為定值．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（1，

2

2

），離心率為

2

2

，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂．點(diǎn)P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A，B和C，D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線PF₁，PF₂的斜率存在，且分別為k₁，k₂．
①求證：

1

k1

-

3

k2

為定值；
②是否存在這樣的點(diǎn)P，使直線OA，OB，OC，OD的斜率之和為0？若存在，
求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

3

，-

3

2

），且橢圓的離心率e=

1

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點(diǎn)A，C及B，D，設(shè)線段AC，BD的中點(diǎn)分別為P，Q．求證：直線PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線x+y+1=0與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以

2

b為半徑的圓相切．
（1）求橢圓的方程．
（2）若過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線L交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，且

MA

=λ1

AF，

MB

=λ2

BF

，求證：λ₁+λ₂為定值．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線x+y+1=0與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（1）求橢圓的方程．
（2）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線l與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)S和T，且滿足

OS

+

OT

=t

OP

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

在空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在棱AB、BC、CD上，若AC∥面EFG，BD∥面EFG，

BE

AE

=

3

4

，

FG

BD

=．