已知函數(shù)f（x）=lg（

1-mx

1-x

）為奇函數(shù)．
（1）求m的值，并求f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明；
（3）若對于任意θ∈[0，

π

2

]，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得不等式f（cos²θ+λsinθ-

1

3

）-lg3＞0．若存在，求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

已知向量|

a

|=|

b

|=4，

a

與

b

的夾角為

2π

3

，求|

a

+

b

|和|

a

-

b

|．

已知tanα=-3，且α是第二象限的角，
（1）求sinα，cosα的值；
（2）求sin（2α-

π

6

）的值．

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x²+y²=4與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A的直線AM，AN分別與圓O交于M，N兩點(diǎn)．
（1）若k_AM=2，k_AN=-

1

2

，求△AMN的面積；
（2）過點(diǎn)P（3

3

，-5）作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別記為E，F(xiàn)，求

PE

•

PF

；
（3）若k_AM•k_AN=-2，求證：直線MN過定點(diǎn)．

已知a、b是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且滿足a³-b³=a²-b²，求所有可能的整數(shù)c，使c=9a•b．

如圖，底面半徑為1，高為2的圓柱，有A點(diǎn)有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱由A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，問螞蟻爬行的最短距離是多少？

在邊長為3的正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足

AE

EB

=

CF

FA

=

CP

PB

=

1

2

，將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，連結(jié)A₁B，A₁P（如圖）．
（I）求證：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求點(diǎn)B到面A₁PF的距離；
（Ⅲ）求異面直線BP與A₁F所成角的余弦．

橢圓C的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁（-5

3

，0）和F₂（5

3

，0），且橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(-5

3

，-

5

2

)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q（-6，0）作直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)（直線l不與x軸重合），A為橢圓的左頂點(diǎn)，試證明：∠MAN=90°．

若函數(shù)y=

f(x)

x

在（m，+∞）上為增函數(shù)（m為常數(shù)），則稱f（x）為區(qū)間（m，+∞）上的“一階比增函數(shù)”．
已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)處可導(dǎo)的函數(shù)，且xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（1）求證：f（x）為區(qū)間（0，+∞）上的“一階比增函數(shù)”；
（2）當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時(shí)，證明：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（3）已知不等式ln（l+x）＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立，證明：

1

22

ln2+

1

33

ln4+…+

1

(n+1)2

ln（n+1）＞

n

4(n+1)(n+2)

（n∈N^*）．

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）若橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；
（文）（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)過點(diǎn)F且斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問X軸上是否存在定點(diǎn)P，使PF平分∠APB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．