已知二階矩陣M對應(yīng)的變換將點O，A，B，C分別變成點O，A′，B′，C′，其中O為坐標(biāo)原點，A（2，0），B（2，1），C（0，1），A′（2，1），B′（2，2）．求矩陣M及點C′的坐標(biāo)．

各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，對任意n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=

4Sn

n+3

•2ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

已知函數(shù)f（x）=2mx²-2（4-m）x+1，g（x）=mx
（1）函數(shù)f（x）在x∈[-1，+∞）上單調(diào)遞減，求m的范圍；
（2）若對于任一實數(shù)x，f（x）與g（x）至少有一個為正數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

設(shè)函數(shù)f（x）=-

a

2

x²+（a+1）x-lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＞0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若對任意a∈（2，3）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有

a2-1

2

m+ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求實數(shù)m的取值范圍．

求證：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于（1，0）的充要條件為a+b+c=0．

已知向量

a

=（-cos2x，2），

b

=（2，2-

3

sin2x），函數(shù)f（x）=

a

•

b

-4．
（Ⅰ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值并求出相應(yīng)x的值；
（Ⅱ）若將f（x）圖象上的所有點的縱坐標(biāo)縮小到原來的

1

2

倍，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移

π

3

個單位得到g（x）圖象，求g（x）的最小正周期和對稱中心；
（Ⅲ）若f（α）=-1，α∈（

π

4

，

π

2

），求sin2α的值．

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+2n，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

1

Sn

，且數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n；
（3）若數(shù)列{c_n}滿足條件：c_n+1=a_cn+2ⁿ，又c₁=3，是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{

cn+λ

2n

}為等差數(shù)列？

前不久，江蘇電視臺有一檔節(jié)目叫《最強(qiáng)大腦》，其中有一場記憶比賽有6位選手，其中4位選手從來沒有參加過記憶能力方面的培訓(xùn)，2位選手曾經(jīng)參加過記憶能力方面的培訓(xùn)．
（1）現(xiàn)從該6位選手中任選2位去參加比賽，求恰好選到1位曾經(jīng)參加過記憶能力方面培訓(xùn)的選手的概率；
（2）為了在以后與歐洲選手的比賽中取得更好的成績，現(xiàn)準(zhǔn)備從這6位選手中任選2位去參加這方面的培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束后，該小組沒有參加過這方面培訓(xùn)的選手個數(shù)ξ是一個隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量ξ的分布列．

已知變換T₁是繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)

π

2

的旋轉(zhuǎn)變換，對應(yīng)的變換矩陣是M₁；變換T₂對應(yīng)的變換矩陣是M₂=

1 1 0 1

．
（Ⅰ）求變換T₁對應(yīng)的變換矩陣M₁；
（Ⅱ）求函數(shù)y=x²的圖象依次在T₁，T₂變換的作用下所得曲線的方程．

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=3+2ⁿ，
（1）求a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=lga_n，數(shù)列{b_n}從第2項起，成等差數(shù)列還是等比數(shù)列？證明你的結(jié)論．