設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為．

已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上的最大值為4，最小值為1，記f（x）=g（|x|）．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）對于任意滿足p=x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n-1＜x_n=q（n∈N^*，n≥3）的自變量x₀，x₁，x₂，…，x_n，如果存在一個(gè)常數(shù)M＞0，使得定義在區(qū)間[p，q]上的一個(gè)函數(shù)m（x），|m（x₁）-m（x₀）|+|m（x₂）-m（x₁）|+…+|m（x_n）-m（x_n-1）|≤M恒成立，則稱函數(shù)m（x）為區(qū)間[p，q]上的有界變差函數(shù)．試判斷函數(shù)f（x）是否區(qū)間[1，3]上的有界變差函數(shù)，若是，求出M的最小值；若不是，請說明理由．

已知函數(shù)f（x）=|x-1|+2|x+1|+1．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜6的解集；
（Ⅱ）若直線y=（

1

3

）^a（a∈R）與函數(shù)y=f（x）的圖象恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值區(qū)間．

已知函數(shù)f（x）=2a²lnx-x²（常數(shù)a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e²）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

吉安一中新校區(qū)正在如火如荼地建設(shè)中，如圖，某工地的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，工地的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，工地中有兩條筆直的小路AD、DC，長度分別為300米、500米，且DC平行于OB．求該扇形的半徑OA的長（精確到1米）．

如圖，在Rt△ABC中，∠A為直角，AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，點(diǎn)T（-1，1）在直線AC上，斜邊中點(diǎn)為M（2，0）．
（1）求BC邊所在直線的方程；
（2）若動(dòng)圓P過點(diǎn)N（-2，0），且與Rt△ABC的外接圓相交所得公共弦長為4，求動(dòng)圓P中半徑最小的圓方程．

已知a，b均為正數(shù)，且a+b=1，證明：
（1）（ax+by）²≤ax²+by²
（2）（a+

1

a

）²+（b+

1

b

）²≥

25

2

．

如圖所示的兩個(gè)同心圓盤均被n等分（n∈N⁺且n≥2），在相重疊的扇形格中依次同時(shí)填上1，2，3，L，n，內(nèi)圓盤可繞圓心旋轉(zhuǎn)，每次可旋轉(zhuǎn)一個(gè)扇形格，當(dāng)內(nèi)圓盤旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，定義所有重疊扇形格中兩數(shù)之積的和為此位置的“旋轉(zhuǎn)和”．
（Ⅰ）求n個(gè)不同位置的“旋轉(zhuǎn)和”的和；
（Ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求n個(gè)不同位置的“旋轉(zhuǎn)和”的最小值；
（Ⅲ）設(shè)n=4m（m∈N⁺），在如圖所示的初始位置將任意m對重疊的扇形格中的兩數(shù)均改寫為0，證明：當(dāng)m≤4時(shí)，通過旋轉(zhuǎn)，總存在一個(gè)位置，任意重疊的扇形格中兩數(shù)不同時(shí)為0．

數(shù)列{a_n}滿足a_n=S_n-1+n，a₁=0，求{a_n}的通項(xiàng)公式．

關(guān)于x的方程x²-mx+m+1=0（k∈R）的兩實(shí)根為sinθ和cosθ，θ∈（0，2π），sinθ+cosθ求：
（1）m的值；
（2）

sinθ

1+ 1 tanθ

+

cosθ

1+tanθ

的值；
（3）方程的兩實(shí)根及此時(shí)θ的值．