已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)A，△AF₁F₂為正三角形，以線段F₁F₂為直徑的圓與直線y═

3

x-4相切．

（1）求橢圓C的方程和離心率．

（2）若點(diǎn)P為焦點(diǎn)F₁關(guān)于直線x=-

5

2

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足

|MF1|

|MF2|

=e，問(wèn)是否存在一定點(diǎn)T，使得動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)T的距離為定值？若存在，求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)及此定值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

設(shè)拋物線y=x²+m過(guò)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，且和橢圓有三個(gè)交點(diǎn)，以這三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為1，求a、b、m的值．

已知某年級(jí)1000名學(xué)生的百米跑成績(jī)?nèi)�部介�?3秒與18秒之間，為了了解學(xué)生的百米跑成績(jī)情況，隨機(jī)抽取了若干學(xué)生的百米跑成績(jī)，并按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）；…；第五組[17，18]．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個(gè)組的頻率之比為1：4：10，且第二組的頻數(shù)為8．
（Ⅰ）請(qǐng)估計(jì)該年級(jí)學(xué)生中百米跑成績(jī)?cè)赱16，17）內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅱ）求調(diào)查中隨機(jī)抽取了多少個(gè)學(xué)生的百米成績(jī)；
（Ⅲ）若從第一和第五組所有成績(jī)中隨機(jī)取出2個(gè)，求這2個(gè)成績(jī)差的絕對(duì)值大于1秒的概率．

已知二次函數(shù)y=f（x）滿足f（0）=f（1）=1，且f(

1

2

)=

3

4

，求：
（Ⅰ）f（x）的解析式；
（Ⅱ）f（x）在（0，1）上的值域．

已知橢圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(

3

，

1

2

)．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A（0，-1），直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)M，N．若△AMN是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，試求直線l的方程．

已知函數(shù)f（x）=x²+xsinx+cosx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（a，f（a））處與直線y=b相切，求a與b的值．
（3）若曲線y=f（x）與直線y=b 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求b的取值范圍．

已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c與y=x交于A，B兩點(diǎn)且|AB|=3

2

，奇函數(shù)g(x)=

x2+c

x+d

，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）與g（x）都在x=x₀取到最小值．
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）若y=x與y=k+

1 2 f′(x)

圖象恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與雙曲線

x2

m2

-

y2

3-m2

=1(0＜m2＜3)有公共的焦點(diǎn)，過(guò)橢圓E的右頂點(diǎn)作任意直線l，設(shè)直線l交拋物線y²=2x于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A、關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，線段PQ與x軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為CQ的中點(diǎn)，若直線AD與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為B，試判斷直線PA，PB是否相互垂直？并證明你的結(jié)論．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0），
橢圓上的點(diǎn)P滿足∠PF₁F₂=90°，且△PF₁F₂的面積S△PF1F2=

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN恰被直線x=-1平分？若存在，求出l的斜率取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知函數(shù)f（x）=x²-4x+1，求函數(shù)y=f[f（x）]的值域．