Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0），
橢圓上的點(diǎn)P滿足∠PF₁F₂=90°，且△PF₁F₂的面積S△PF1F2=

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN恰被直線x=-1平分？若存在，求出l的斜率取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）先求出c，再利用三角形的面積公式，求出|PF₁|=

1

2

，可得|PF₂|=

7

2

，從而求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)l的方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立，判別式△＞0，即m²＜4k²+1，MN被直線x=-1平分，可知k≠0，

x1+x2

2

=

-4km

1+4k2

=-1，m=

1+4k2

4k

，由此即可求出l的斜率取值范圍．

解答： 解解：（Ⅰ）由題意知：|F₁F₂|=2c=2

3

，…（1分）
∵橢圓上的點(diǎn)P滿足∠PF₁F₂=90°，且S △PF1F2=

3

2

，
∴S △PF1F2=

1

2

|F₁F₂||PF₁|=

1

2

×2

3

|PF₁|=

3

2

．
∴|PF₁|=

1

2

，
∴|PF₂|=

7

2

．
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，
∴a=2．                  …（2分）
又∵c=

3

，
∴b=

a2-c2

=1．                 …（3分）
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．                  …（4分）
（Ⅱ）假設(shè)這樣的直線l存在．
∵l與直線x=-1相交，
∴直線l的斜率存在．
設(shè)l的方程為y=kx+m，…（5分）
由

x2 4 +y2=1 y=kx+m

得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0．（*）…（6分）
∵直線l與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴（*）的判別式△＞0，即m²＜4k²+1．①…（7分）
設(shè)設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8km

1+4k2

．　…（8分）
∵M(jìn)N被直線x=-1平分，可知k≠0，
∴

x1+x2

2

=

-4km

1+4k2

=-1，
∴m=

1+4k2

4k

． ②…（9分）
把②代入①，得（

1+4k2

4k

）²＜4k²+1，即48k⁴+8k²-1＞0．…（10分）
∵k²＞0，∴k²＞

1

12

．                         …（11分）
∴k＜-

3

6

或k＞

3

6

．
即存在滿足題設(shè)條件的直線l，且l的斜率取值范圍是（-∞，-

3

6

）∪（

3

6

，+∞）．               …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．