【題目】在公差不為零的等差數(shù)列中，已知，且成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，記，求數(shù)列的前項和．

【題目】如圖“月亮圖”是由曲線與構(gòu)成，曲線是以原點為中點， 為焦點的橢圓的一部分，曲線是以為頂點， 為焦點的拋物線的一部分， 是兩條曲線的一個交點.

（Ⅰ）求曲線和的方程；

（Ⅱ）過作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線依次交于四點，若為的中點， 為的中點，問： 是否為定值？若是求出該定值；若不是說明理由.

在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線，以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知直線．

（1）將曲線上的所有點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的倍后得到曲線．試寫出直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程：

（2）在曲線上求一點，使點到直線的距離最大，并求出此最大值．

【題目】某汽車美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動：對首次消費的顧客，按元/次收費, 并注冊成為會員, 對會員逐次消費給予相應(yīng)優(yōu)惠，標(biāo)準(zhǔn)如下：

該公司從注冊的會員中, 隨機抽取了位進行統(tǒng)計, 得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:

假設(shè)汽車美容一次, 公司成本為元, 根據(jù)所給數(shù)據(jù), 解答下列問題:

（1）估計該公司一位會員至少消費兩次的概率；

（2）某會員僅消費兩次, 求這兩次消費中, 公司獲得的平均利潤；

（3）設(shè)該公司從至少消費兩次, 求這的顧客消費次數(shù)用分層抽樣方法抽出人, 再從這人中抽出人發(fā)放紀念品, 求抽出人中恰有人消費兩次的概率．

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（Ⅱ）若且恒成立，求的最大值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，且取得最大值時，設(shè)，且函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍，并證明：

【題目】已知點，點在軸上，點在軸的正半軸上，點在直線上，且滿足

（Ⅰ）當(dāng)點在軸上移動時，求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點做直線與軌跡交于兩點，若在軸上存在一點，使得是以點為直角頂點的直角三角形，求直線的斜率的取值范圍.

【題目】班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進行分析，決定從全班名男同學(xué)， 名女同學(xué)中隨機抽取一個容量為的樣本進行分析.

（1）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（只要求寫出計算式即可，不必計算出結(jié)果）

（2）隨機抽取位，他們的數(shù)學(xué)分數(shù)從小到大排序是： ，物理分數(shù)從小到大排序是： .

①若規(guī)定分以上（包括分）為優(yōu)秀，求這位同學(xué)中恰有位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分數(shù)均為優(yōu)秀的概率；

②若這位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理分數(shù)事實上對應(yīng)如下表：

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，由變量與的相關(guān)系數(shù)可知物理成績與數(shù)學(xué)成績之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)求與的線性回歸方程（系數(shù)精確到）.

參考公式：回歸直線的方程是： ，其中對應(yīng)的回歸估計值，

參考數(shù)據(jù)： ， ， ，， ，.

①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同；

②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；

③2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多.

（1）若入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系可用函數(shù)（， ， ）近似描述，求該函數(shù)解析式；

（2）請問哪幾個月份要準(zhǔn)備不少于400人的用餐？

（1）求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量：

（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素滿足：，且時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量：

（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．

【題目】已知橢圓，離心率為，兩焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，且的周長為8.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作圓的切線交橢圓于兩點，求弦長的最大值．