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【題目】(理)已知數(shù)列滿足(),首項.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和;
(3)數(shù)列滿足,記數(shù)列的前項和為,是△ABC的內角,若對于任意恒成立,求角的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),若在區(qū)間內有且只有一個實數(shù),使得成立,則稱函數(shù)在區(qū)間內具有唯一零點.
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間內是否具有唯一零點,說明理由:
(2)已知向量,,,證明在區(qū)間內具有唯一零點.
(3)若函數(shù)在區(qū)間內具有唯一零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,A、B是海岸線OM、ON上兩個碼頭,海中小島有碼頭Q到海岸線OM、ON的距離分別為、,測得,,以點O為坐標原點,射線OM為x軸的正半軸,建立如圖所示的直角坐標系,一艘游輪以小時的平均速度在水上旅游線AB航行(將航線AB看作直線,碼頭Q在第一象限,航線BB經過點Q).
(1)問游輪自碼頭A沿方向開往碼頭B共需多少分鐘?
(2)海中有一處景點P(設點P在平面內,,且),游輪無法靠近,求游輪在水上旅游線AB航行時離景點P最近的點C的坐標.
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【題目】設點分別是棱長為2的正方體的棱的中點.如圖,以為坐標原點,射線、、分別是軸、軸、軸的正半軸,建立空間直角坐標系.
(1)求向量與的數(shù)量積;
(2)若點分別是線段與線段上的點,問是否存在直線,平面?若存在,求點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知數(shù)列的通項公式為,其中,、.
(1)試寫出一組、的值,使得數(shù)列中的各項均為正數(shù).
(2)若,,數(shù)列滿足,且對任意的(),均有,寫出所有滿足條件的的值.
(3)若,數(shù)列滿足,其前項和為,且使(、,)的和有且僅有組,、、…、中有至少個連續(xù)項的值相等,其它項的值均不相等,求、的最小值.
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【題目】對于雙曲線:(),若點滿足,則稱在的外部;若點滿足,則稱在的內部.
(1)證明:直線上的點都在的外部.
(2)若點的坐標為,點在的內部或上,求的最小值.
(3)若過點,圓()在內部及上的點構成的圓弧長等于該圓周長的一半,求、滿足的關系式及的取值范圍.
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【題目】如圖,小凳凳面為圓形,凳腳為三根細鋼管.考慮到鋼管的受力等因素,設計的小凳應滿足:三根細鋼管相交處的節(jié)點與凳面圓形的圓心的連線垂直于凳面和地面,且分細鋼管上下兩段的比值為,三只凳腳與地面所成的角均為.若、、是凳面圓周的三等分點,厘米,求凳子的高度及三根細鋼管的總長度(精確到).
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【題目】已知數(shù)列的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列,偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列.設數(shù)列的前n項和為且滿足
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若求正整數(shù)的值;
(3)是否存在正整數(shù),使得恰好為數(shù)列的一項?若存在,求出所有滿足條件的正整數(shù);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知直線是雙曲線的一條漸近線,點都在雙曲線上,直線與軸相交于點,設坐標原點為.
(1)求雙曲線的方程,并求出點的坐標(用表示);
(2)設點關于軸的對稱點為,直線與軸相交于點.問:在軸上是否存在定點,使得?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)若過點的直線與雙曲線交于兩點,且,試求直線的方程.
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【題目】已知橢圓的左右焦點分別是,是橢圓外的動點,滿足.點是線段與該橢圓的交點,點在線段上,并且滿足,.
(1)當時,用點P的橫坐標表示;
(2)求點的軌跡的方程;
(3)在點的軌跡上,是否存在點,使的面積?若存在,求出的正切值;若不存在,說明理由.
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