A、選修4-1：幾何證明選講 
如圖，PA與⊙O相切于點A，D為PA的中點，
過點D引割線交⊙O于B，C兩點，求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=

12 2x

的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應的一個特征向量．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，圓C的方程為ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為

x=t y=1+2t

（t為參數(shù)），判斷直線l和圓C的位置關系．
D．選修4-5：不等式選講
求函數(shù)y=

1-x

+

4+2x

的最大值．

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若關于x的方程|f（x）|=g（x）只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若當x∈R時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值（直接寫出結果，不需給出演算步驟）．

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足2S_n=pa_n-2n，n∈N^*，其中常數(shù)p＞2．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；
（2）若a₂=3，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）對于（2）中數(shù)列{a_n}，若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+1）（n∈N^*），在b_k與b_k+1之間插入2^k-1（k∈N^*）個2，得到一個新的數(shù)列{c_n}，試問：是否存在正整數(shù)m，使得數(shù)列{c_n}的前m項的和T_m=2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由．

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點P(1，

3

2

)，其左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率e=

1

2

，M，N是橢圓右準線上的兩個動點，且

F1M

•

F2N

=0．
（1）求橢圓的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN為直徑的圓C是否過定點？請證明你的結論．

據(jù)環(huán)保部門測定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為k（k＞0）．現(xiàn)已知相距18km的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為a，b，它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和．設AC=x（km）．
（1）試將y表示為x的函數(shù)；
（2）若a=1，且x=6時，y取得最小值，試求b的值．

已知函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

6

)-cos(2x+

π

3

)+2cos2x．
（1）求f(

π

12

)的值；
（2）求f（x）的最大值及相應x的值．

已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，則b的取值范圍是．