Question

19．如圖1所示，在xOy坐標(biāo)系中，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱，極板長(zhǎng)度和板間距均為l，緊靠極板的右邊緣的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域由△ABO和舉行OBCD構(gòu)成，其中∠0AB=60°，0D=OA．磁場(chǎng)方向垂直于x0y平面向里，D、A位于y軸上．位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右接連發(fā)射質(zhì)量為m，、電荷量為+q、速度相同的帶電粒子，現(xiàn)在0～3t₀時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖2所示的電壓，已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的粒子，在t₀時(shí)刻射入磁場(chǎng)時(shí)，恰好不會(huì)從磁場(chǎng)邊界射出磁場(chǎng)區(qū)域且圓心在x軸上，上述l、m、q、t₀為已知量，U₀=$\frac{m{l}^{2}}{q{{t}_{0}}^{2}}$，不考慮P、Q兩板電壓的變化對(duì)磁場(chǎng)的影響，也不考慮粒子的重力及粒子間的相互影響，求：
（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小及磁場(chǎng)區(qū)域的面積；
（3）t=t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知粒子在兩平行板間做類平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)性質(zhì)可分別求出粒子水平方向和豎直方向的速度，最后對(duì)這兩個(gè)速度進(jìn)行合成，由于速度為矢量需注意方向問(wèn)題；
（2）需畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求出粒子運(yùn)動(dòng)半徑，再求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．由幾何知識(shí)可求出AB邊長(zhǎng)，最后求出磁場(chǎng)區(qū)域面積；
（3）先判斷粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)公式求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子t0時(shí)刻剛好射出電場(chǎng)，
帶電粒子沿x軸分速度大小為${v}_{0}=\frac{l}{{t}_{0}}$
y軸負(fù)方向偏移距離$y=\frac{1}{2}\frac{{U}_{0}q}{ml}{{t}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}l$
設(shè)粒子離開(kāi)電場(chǎng)沿y軸負(fù)方向的分速度為，則有$\frac{1}{2}l=\frac{{v}_{y}}{2}{t}_{0}$
可知${v}_{y}=\frac{l}{{t}_{0}}$
射入磁場(chǎng)的速度${v}_{1}=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\frac{\sqrt{2}l}{{t}_{0}}$，與y軸負(fù)方向夾角45°；
（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻變速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R₁，
由幾何關(guān)系得${R}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}l$
$q{v}_{1}B=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$
得$B=\frac{2m}{q{t}_{0}}$
設(shè)AB長(zhǎng)為a，則由幾何關(guān)系得$2{R}_{1}+\frac{l}{2}=a•sin60°$
得$a=\frac{2\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}l$
磁場(chǎng)區(qū)域的面積為：$S=\frac{1}{2}{a}^{2}cos30°+\frac{1}{4}{a}^{2}cos30°=（\frac{9\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{6}}{2}）$l²．
（3）t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在兩板間做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
在2t₀時(shí)刻沿x軸方向進(jìn)入磁場(chǎng)，進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)，
設(shè)半徑為R₂．
$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{R}_{2}}$
得${R}_{2}=\frac{1}{2}l$
由于$\frac{a}{2}＞{R}_{2}$，所以粒子不會(huì)從DC和BC邊射出磁場(chǎng)．
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$t=\frac{π{R}_{2}}{{v}_{0}}=\frac{π{t}_{0}}{2}$
答：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度為$\frac{\sqrt{2}l}{2}$，與y軸負(fù)方向夾角45°；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{2m}{q{t}_{0}}$及磁場(chǎng)區(qū)域的面積為$（\frac{9\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{6}}{2}）{l}^{2}$；
（3）t=t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{π{t}_{0}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，主要考查考生綜合分析問(wèn)題能力，求解的關(guān)鍵是找到粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡剛好和AB邊相切，找到幾何關(guān)系求出AB邊的長(zhǎng)度．第三問(wèn)要通過(guò)計(jì)算判斷再求解．