Question

19．如圖1所示，在xOy坐標系中，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關于x軸對稱，極板長度和板間距均為l，緊靠極板的右邊緣的有界勻強磁場區(qū)域由△ABO和舉行OBCD構成，其中∠0AB=60°，0D=OA．磁場方向垂直于x0y平面向里，D、A位于y軸上．位于極板左側的粒子源沿x軸向右接連發(fā)射質量為m，、電荷量為+q、速度相同的帶電粒子，現(xiàn)在0～3t₀時間內兩板間加上如圖2所示的電壓，已知t=0時刻進入兩板間的粒子，在t₀時刻射入磁場時，恰好不會從磁場邊界射出磁場區(qū)域且圓心在x軸上，上述l、m、q、t₀為已知量，U₀=$\frac{m{l}^{2}}{q{{t}_{0}}^{2}}$，不考慮P、Q兩板電壓的變化對磁場的影響，也不考慮粒子的重力及粒子間的相互影響，求：
（1）t=0時刻進入兩板間的帶電粒子射入磁場時的速度；
（2）勻強磁場的磁感應強度的大小及磁場區(qū)域的面積；
（3）t=t₀時刻進入兩板間的帶電粒子在勻強磁場中運動的時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知粒子在兩平行板間做類平拋運動，由平拋運動性質可分別求出粒子水平方向和豎直方向的速度，最后對這兩個速度進行合成，由于速度為矢量需注意方向問題；
（2）需畫出粒子運動軌跡，根據(jù)幾何知識求出粒子運動半徑，再求出磁感應強度的大小．由幾何知識可求出AB邊長，最后求出磁場區(qū)域面積；
（3）先判斷粒子在磁場中運動軌跡，根據(jù)圓周運動公式求出粒子的運動時間．

解答 解：（1）t=0時刻進入電場的粒子t0時刻剛好射出電場，
帶電粒子沿x軸分速度大小為${v}_{0}=\frac{l}{{t}_{0}}$
y軸負方向偏移距離$y=\frac{1}{2}\frac{{U}_{0}q}{ml}{{t}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}l$
設粒子離開電場沿y軸負方向的分速度為，則有$\frac{1}{2}l=\frac{{v}_{y}}{2}{t}_{0}$
可知${v}_{y}=\frac{l}{{t}_{0}}$
射入磁場的速度${v}_{1}=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\frac{\sqrt{2}l}{{t}_{0}}$，與y軸負方向夾角45°；
（2）設粒子在磁場中做勻變速圓周運動的半徑為R₁，
由幾何關系得${R}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}l$
$q{v}_{1}B=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$
得$B=\frac{2m}{q{t}_{0}}$
設AB長為a，則由幾何關系得$2{R}_{1}+\frac{l}{2}=a•sin60°$
得$a=\frac{2\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}l$
磁場區(qū)域的面積為：$S=\frac{1}{2}{a}^{2}cos30°+\frac{1}{4}{a}^{2}cos30°=（\frac{9\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{6}}{2}）$l²．
（3）t₀時刻進入兩板間的帶電粒子在兩板間做勻速直線運動．
在2t₀時刻沿x軸方向進入磁場，進入磁場后做圓周運動，
設半徑為R₂．
$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{R}_{2}}$
得${R}_{2}=\frac{1}{2}l$
由于$\frac{a}{2}＞{R}_{2}$，所以粒子不會從DC和BC邊射出磁場．
粒子在磁場中運動的時間$t=\frac{π{R}_{2}}{{v}_{0}}=\frac{π{t}_{0}}{2}$
答：（1）t=0時刻進入兩板間的帶電粒子射入磁場時的速度為$\frac{\sqrt{2}l}{2}$，與y軸負方向夾角45°；
（2）勻強磁場的磁感應強度的大小為$\frac{2m}{q{t}_{0}}$及磁場區(qū)域的面積為$（\frac{9\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{6}}{2}）{l}^{2}$；
（3）t=t₀時刻進入兩板間的帶電粒子在勻強磁場中運動的時間為$\frac{π{t}_{0}}{2}$．

點評 本題屬于帶電粒子在組合場中的運動，主要考查考生綜合分析問題能力，求解的關鍵是找到粒子的運動軌跡剛好和AB邊相切，找到幾何關系求出AB邊的長度．第三問要通過計算判斷再求解．