Question

5．如圖所示，在真空中豎直平面內(nèi)建立的xOy坐標系的第二象限中，有一個緊靠y軸且極板與x軸重合的平行板電容器，電容器上極板帶正電、下極板帶負電；y軸右側(cè)有一以（R，0）為圓心、R為半徑的圓形勻強磁場區(qū)域，磁場的磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向里；在y=R的上方足夠大的范圍內(nèi)，有電場強度大小為E、方向水平向左的勻強電場．一質(zhì)子（不計重力）從電容器左側(cè)兩級板正中間平行x軸方向射入，恰好從坐標原點O沿x軸正方向斜向下成30°方向射入磁場，經(jīng)過一段時間后由P點穿出磁場，最后由M點（P點和M點沒有在圖中標出）穿出y軸．已知質(zhì)子在磁場中做勻速圓周運動的半徑也為R，質(zhì)子的電荷量為e、質(zhì)量為m．求；
（1）電容器極板長L與極板間距離d的比值$\frac{L}72g7izq$；
（2）P點和M點的坐標；
（3）質(zhì)子由O點運動到M點所用的時間t．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)子在平行板電容器中做類平拋運動，根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式求解
（2）畫出粒子的運動軌跡，根據(jù)勻速圓周運動的規(guī)律和幾何關系求出P點的坐標，在電場中做類平拋運動，根據(jù)類平拋的規(guī)律求出豎直位移，再由幾何關系求出M點的坐標
（3）分別求出質(zhì)子在磁場中勻速圓周運動的時間、在勻強磁場和勻強電場之間勻速運動的時間及電場中類平拋運動的時間，即可求解

解答 解：質(zhì)子的運動軌跡分為在平行板電容器中的偏轉(zhuǎn)，在磁場中的勻速圓周運動，在磁場和電場之間的勻速直線運動以及在電場中的類平拋運動四個階段，如圖所示
（1）設質(zhì)子射入電容器的速度為${v}_{0}^{\;}$，在電容器中運動的加速度大小為a，運動的時間為${t}_{0}^{\;}$，到達坐標原點O時在豎直方向上的分速度為${v}_{y}^{\;}$，有：
$L={v}_{0}^{\;}{t}_{0}^{\;}$
$\fracfjzgcvl{2}=\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
${v}_{y}^{\;}=a{t}_{0}^{\;}$
由幾何關系有：$\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=tan30°$
解得：$\frac{L}o2fchqq=\sqrt{3}$
（2）設質(zhì)子在磁場中做圓周運動的速度大小為v，由牛頓第二定律有：
$evB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\frac{eBR}{m}$
質(zhì)子在磁場中轉(zhuǎn)過120°角進入電場，從P點豎直向上勻速運動一段距離后垂直電場線進入電場，由幾何關系可知，P點到y(tǒng)軸和x軸的距離分別為：
${x}_{1}^{\;}=R+Rsin30°=1.5R$，${y}_{1}^{\;}=\frac{\sqrt{3}R}{2}$
則P點的坐標為$（1.5R，\frac{\sqrt{3}R}{2}）$
設質(zhì)子在電場中做類平拋運動的時間為${t}_{2}^{\;}$，有：
eE=ma
${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
解得：${t}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{3mR}{eE}}$
M點的縱坐標為：$y=R+v{t}_{1}^{\;}=R+BR\sqrt{\frac{3eR}{mR}}$
則M點的坐標為：（0，$R+BR\sqrt{\frac{3eR}{mE}}$）
（3）質(zhì)子在磁場中做圓周運動的時間為：${t}_{2}^{\;}=\frac{T}{3}=\frac{2πm}{3eB}$
質(zhì)子在磁場和電場之間中做勻速直線運動的時間為：
${t}_{3}^{\;}=\frac{R-{y}_{1}^{\;}}{v}=\frac{（2-\sqrt{3}）m}{2eB}$
故質(zhì)子由O點運動到M點所用時間為：
$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=\frac{2πm}{3eB}+\frac{（2-\sqrt{3}）m}{2eB}+\sqrt{\frac{3mR}{eE}}$
答：（1）電容器極板長L與極板間距離d的比值$\frac{L}vffmwcd$為$\sqrt{3}$；
（2）P點坐標為$（1.5R，\frac{\sqrt{3}R}{2}）$和M點的坐標為$（0，R+BR\sqrt{\frac{3eR}{mE}}）$；
（3）質(zhì)子由O點運動到M點所用的時間t為$\frac{2πm}{3eB}+\frac{（2-\sqrt{3}）m}{2eB}+\sqrt{\frac{3mR}{eE}}$

點評 本題考查帶電粒子在電場中的偏轉(zhuǎn)和在磁場中的勻速圓周運動，在電場中偏轉(zhuǎn)要運用運動的合成與分解．粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心、半徑及運動時間的確定也是本題的一個考查重點，要正確畫出粒子運動的軌跡圖，能熟練的運用幾何知識解決物理問題