Question

5．如圖所示，在真空中豎直平面內(nèi)建立的xOy坐標(biāo)系的第二象限中，有一個(gè)緊靠y軸且極板與x軸重合的平行板電容器，電容器上極板帶正電、下極板帶負(fù)電；y軸右側(cè)有一以（R，0）為圓心、R為半徑的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里；在y=R的上方足夠大的范圍內(nèi)，有電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E、方向水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)子（不計(jì)重力）從電容器左側(cè)兩級(jí)板正中間平行x軸方向射入，恰好從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正方向斜向下成30°方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)過一段時(shí)間后由P點(diǎn)穿出磁場(chǎng)，最后由M點(diǎn)（P點(diǎn)和M點(diǎn)沒有在圖中標(biāo)出）穿出y軸．已知質(zhì)子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑也為R，質(zhì)子的電荷量為e、質(zhì)量為m．求；
（1）電容器極板長(zhǎng)L與極板間距離d的比值$\frac{L}hjedyqx$；
（2）P點(diǎn)和M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）質(zhì)子由O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所用的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)子在平行板電容器中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解
（2）畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何關(guān)系求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋的規(guī)律求出豎直位移，再由幾何關(guān)系求出M點(diǎn)的坐標(biāo)
（3）分別求出質(zhì)子在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間、在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)之間勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間及電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即可求解

解答 解：質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡分為在平行板電容器中的偏轉(zhuǎn)，在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)和電場(chǎng)之間的勻速直線運(yùn)動(dòng)以及在電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)四個(gè)階段，如圖所示
（1）設(shè)質(zhì)子射入電容器的速度為${v}_{0}^{\;}$，在電容器中運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為${t}_{0}^{\;}$，到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)在豎直方向上的分速度為${v}_{y}^{\;}$，有：
$L={v}_{0}^{\;}{t}_{0}^{\;}$
$\fracprbhso3{2}=\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
${v}_{y}^{\;}=a{t}_{0}^{\;}$
由幾何關(guān)系有：$\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=tan30°$
解得：$\frac{L}9e0i655=\sqrt{3}$
（2）設(shè)質(zhì)子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小為v，由牛頓第二定律有：
$evB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\frac{eBR}{m}$
質(zhì)子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過120°角進(jìn)入電場(chǎng)，從P點(diǎn)豎直向上勻速運(yùn)動(dòng)一段距離后垂直電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)，由幾何關(guān)系可知，P點(diǎn)到y(tǒng)軸和x軸的距離分別為：
${x}_{1}^{\;}=R+Rsin30°=1.5R$，${y}_{1}^{\;}=\frac{\sqrt{3}R}{2}$
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為$（1.5R，\frac{\sqrt{3}R}{2}）$
設(shè)質(zhì)子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為${t}_{2}^{\;}$，有：
eE=ma
${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
解得：${t}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{3mR}{eE}}$
M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：$y=R+v{t}_{1}^{\;}=R+BR\sqrt{\frac{3eR}{mR}}$
則M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，$R+BR\sqrt{\frac{3eR}{mE}}$）
（3）質(zhì)子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{2}^{\;}=\frac{T}{3}=\frac{2πm}{3eB}$
質(zhì)子在磁場(chǎng)和電場(chǎng)之間中做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
${t}_{3}^{\;}=\frac{R-{y}_{1}^{\;}}{v}=\frac{（2-\sqrt{3}）m}{2eB}$
故質(zhì)子由O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所用時(shí)間為：
$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=\frac{2πm}{3eB}+\frac{（2-\sqrt{3}）m}{2eB}+\sqrt{\frac{3mR}{eE}}$
答：（1）電容器極板長(zhǎng)L與極板間距離d的比值$\frac{L}8qlg7ew$為$\sqrt{3}$；
（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為$（1.5R，\frac{\sqrt{3}R}{2}）$和M點(diǎn)的坐標(biāo)為$（0，R+BR\sqrt{\frac{3eR}{mE}}）$；
（3）質(zhì)子由O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所用的時(shí)間t為$\frac{2πm}{3eB}+\frac{（2-\sqrt{3}）m}{2eB}+\sqrt{\frac{3mR}{eE}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)和在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)，要正確畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識(shí)解決物理問題