Question

6．AB為豎直轉(zhuǎn)軸，細(xì)繩AC、AB的結(jié)點(diǎn)C系一質(zhì)量為m的小球，兩繩子能承受的最大拉力均為2mg，當(dāng)AC、AB拉直時(shí)，∠ABC=90°，∠ACB=53°，BC長1m．ABC可繞軸AB勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，因而小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．問：
（1）當(dāng)小球的線速度增大時(shí)，分析AC和BC哪根繩子先斷？并求出此時(shí)小球的線速度？
（1）當(dāng)小球的線速度為多大時(shí)，第二根繩子斷掉，并求此時(shí)繩子與AB軸的夾角多大？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)小球線速度增大時(shí)，BC逐漸被拉直，小球線速度增至BC剛被拉直時(shí)，對小球進(jìn)行受力分析，合外力提供向心力，求出A繩的拉力，線速度再增大些，T_A不變而T_B增大，所以BC繩先斷，結(jié)合牛頓第二定律求出此時(shí)小球的線速度；
（2）當(dāng)BC繩斷之后，小球線速度繼續(xù)增大，小球m作離心運(yùn)動(dòng)，AC繩與豎直方向的夾角α增大，當(dāng)夾角達(dá)到一定值，AC繩斷開，對球進(jìn)行受力分析，根據(jù)合外力提供向心力列式求解．

解答 解：（1）當(dāng)小球線速度增大時(shí)，BC逐漸被拉直，小球線速度增至BC剛被拉直時(shí)，
對球：T_ACsin53°-mg=0…①
${T}_{AC}cos53°+{T}_{BC}=m\frac{{v}^{2}}{r}$…②
由①可求得AC繩中的拉力${T}_{AC}=\frac{5}{4}mg$，線速度再增大些，T_AC不變而T_BC增大，所以BC繩先斷．
當(dāng)BC繩剛要斷時(shí)，拉力為2mg，
有：$\frac{5}{4}mg×0.6+2mg=m\frac{{v}^{2}}{r}$，代入數(shù)據(jù)解得v=5.24m/s．
（2）當(dāng)BC線斷后，AC線與豎直方向夾角α因離心運(yùn)動(dòng)而增大，當(dāng)使球速再增大時(shí)，角α隨球速增大而增大，
根據(jù)Tcosα=mg知，當(dāng)α=60°時(shí)，T_AC=2mg，AC也斷．
根據(jù)${T}_{AC}sin60°=m\frac{{v}^{2}}{{L}_{AC}sin60°}$得，v=5m/s．
答：（1）BC繩先斷，此時(shí)小球的線速度為5.24m/s；
（2）當(dāng)小球的線速度為5m/s時(shí)，第二根繩子斷掉，此時(shí)繩子與AB軸的夾角為60°．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵搞清向心力的來源，抓住臨界狀態(tài)的特點(diǎn)，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．