Question

3．如圖甲所示，兩平行金屈板間接有如圖乙所示的隨時(shí)間t變化的電壓U兩板間電場可看作是均勻的，且兩極板外無電場，極板長L=0.2m，板間距離d=0.2m，在金屬板右側(cè)有一邊界為MN 的區(qū)域足夠大的勻強(qiáng)磁場，MN與兩板中線00'垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5×10^-3T，方向垂直紙面向里．現(xiàn)有帶正電的粒子流沿兩板中線連續(xù)射入電場中，已知每個(gè)粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷q/m=10⁸ C/kg，重力忽略不計(jì)，在每個(gè)粒子通過電場區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，電場可視作是恒定不變的．
（1）試求帶電粒子射出電場時(shí)的最大速度；
（2）從電場射出的帶電粒子，進(jìn)入磁場運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后又射出磁場．求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間和最短時(shí)間；
（3）試求從電場射出的帶電粒子進(jìn)入磁場后從磁場左邊界射出區(qū)域的寬度．

Answer 1

分析 帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)，涉及到類平拋、圓周運(yùn)動(dòng)、勻變速等過程，應(yīng)用到的規(guī)律有力學(xué)主干知識(shí)、電磁學(xué)基本公式等．對此題：
（1）粒子垂直于電場進(jìn)入電場做類平拋運(yùn)動(dòng)，即路徑為拋物線，要求最大速度，剛要求電場力做功最多，即從M或N邊緣射出的粒子，這樣由動(dòng)能定律可以求出．
（2）粒子連續(xù)射入電場在變化的電場中運(yùn)動(dòng)，也可能上偏，也可能下偏．根據(jù)左手定則，將逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，顯然與MN向上夾角越大，圓周運(yùn)動(dòng)的弧長越大，時(shí)間越長，只能是從下邊緣穿出的粒子弧長最大，從上邊緣穿出的粒子弧長最短．與磁場邊緣成45°角進(jìn)入磁場的粒子將轉(zhuǎn)過270°或45°．
（3）由于磁場區(qū)域足夠?qū)�，粒子在磁場中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后再從左邊界穿出，根據(jù)幾何關(guān)系，以及半徑公式可以求出寬度．

解答 解：（1）偏轉(zhuǎn)電壓由0到200V的變化中，粒子流可能都能射出電場，也可能只有部分粒子能射出電場．設(shè)偏轉(zhuǎn)的電壓為U₀時(shí)，粒子剛好能經(jīng)過極板的右邊緣射出．
$\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}a{t}^{2}$      ①
而粒子的加速度：
$a=\frac{q{U}_{1}}{dm}$          ②
粒子在偏轉(zhuǎn)電場中的時(shí)間：
$t=\frac{l}{{v}_{0}}$         ③
 聯(lián)立以上三式解得：得U₁=100V．
從而知道偏轉(zhuǎn)電壓為100V時(shí)，粒子恰好能射出電場，且速度最大．
根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=q{U}_{1}$     ④
 代入數(shù)據(jù)解得：
${v}_{1}=\sqrt{2}×1{0}^{5}m/s=1.41×1{0}^{5}m/s$．
方向：斜向右上方或斜向右下方，與初速度方向成45°角．
（2）由（1）知，若粒子射出磁場的豎直分速度越大，則θ越小，故θ最小值為θ_m=45°，
此情景下圓弧對應(yīng)的圓心角為270°  如圖2所示．
則入射粒子在磁場中運(yùn)行最長時(shí)間為
${t}_{max}=\frac{3}{4}T=\frac{3πm}{2qB}=3π×1{0}^{-6}s$
當(dāng)粒子從上板邊緣飛入磁場時(shí)，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，如圖3所示

∴${t}_{min}=\frac{1}{4}T=\frac{πm}{2qB}=π×1{0}^{-6}s$．
（3）設(shè)粒子射出電場速度方向與MN間夾角為θ．粒子射出電場時(shí)速度大小為：
$v=\frac{{v}_{0}}{sinθ}$      ⑤
又有洛倫茲力提供向心力：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$    ⑥
  解得：$R=\frac{mv}{qB}=\frac{m{v}_{0}}{qBsinθ}$
因此粒子進(jìn)入磁場點(diǎn)與射出磁場點(diǎn)間距離為：$S=2Rsinθ=\frac{2m{v}_{0}sinθ}{qB}=0.4m$
可見：距離S與粒子在磁場中運(yùn)行速度的大小無關(guān)，為定值，進(jìn)而有射出點(diǎn)區(qū)域?qū)挾取鱀=d=0.2m
答：（1）帶電粒子射出電場時(shí)的最大速度1.41×10⁵m/s．
（2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為3π×10^-6s和最短時(shí)間π×10^-6s．
（3）從電場射出的帶電粒子進(jìn)入磁場后從磁場左邊界射出區(qū)域的寬度為0.2m．

點(diǎn)評 看起來復(fù)雜的問題，只是考察關(guān)鍵的幾點(diǎn)，本題要記住粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式和周期公式，即：$R=\frac{mv}{qB}$   $T=\frac{2πm}{qB}$，能夠結(jié)合畫圖可以更快找到關(guān)系式．