Question

12．質量為m、帶電荷量為+q的絕緣小球，穿在半徑為 r 的光滑圓形軌道上，軌道平面水平．空間分布有隨時間變化的磁場，磁場方向豎直向上，俯視如圖甲所示．磁感應強度 B 隨時間的變化規(guī)律如圖乙所示．其中 B0、T0 是已知量．設小球在運動過程中電荷量保持不變，對原磁場的影響可忽略．
（1）若圓環(huán)由金屬材料制成，求在t=T₀到t=2T₀這段時間內圓環(huán)上感應電動勢的大��；
（2）若圓環(huán)由絕緣材料制成，在t=0到t=T₀這段時間內，小球不受圓形軌道的作用力，求小球的速度的大小 v0；
（3）已知在豎直向上的磁感應強度增大或減少的過程中，將產生漩渦電場，其電場線是在水平面內一系列的沿順時針或逆時針方向 的同心圓，同一條電場線上各點的場強大小相等．其大小為E=$\frac{e}{2πr}$．若t=0時刻小球靜止，求t=0到t=3.5T0小球運動的路程和t=3.5T0時小球對軌道的作用力F的大�。�（不計小球的重力）

Answer 1

分析 （1）根據法拉第電磁感應定律求解出感應電動勢；
（2）在t=0到t=T₀這段時間內，小球不受細管側壁的作用力，說明洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解；
（3）先根據牛頓第二定律求解加速度，計算出路程，再根據牛頓第二定律求出t=3.5T0時小球對軌道的作用力F的大小

解答 解：（1）t=T₀到t=2T₀這段時間內圓環(huán)上感應電動勢：?=$\frac{△B}{△t}π{r}_{\;}^{2}=\frac{{B}_{0}^{\;}}{{T}_{0}^{\;}}π{r}_{\;}^{2}$
（2）t=0到t=T₀這段時間內，不受環(huán)形軌道作用，由牛頓第二定律得：$q{v}_{0}^{\;}{B}_{0}^{\;}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$      
 則 ${v}_{0}^{\;}=\frac{q{B}_{0}^{\;}r}{m}$
（3）t=0到t=T₀小球靜止，t=T₀到t=2T₀這段時間內由 ?=E•2πr知
產生順時針方向的渦旋電場的場強為：$E=\frac{?}{2πr}=\frac{{B}_{0}^{\;}r}{2{T}_{0}^{\;}}$
小球沿切線方向的加速度大小恒為：$a=\frac{qE}{m}$
小球運動的末速度大小為：${v}_{1}^{\;}=a{T}_{0}^{\;}$
小球運動路程為：${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{T}_{0}^{2}$
解得：${v}_{1}^{\;}=\frac{qr{B}_{0}^{\;}}{2m}$
${x}_{1}^{\;}=\frac{q{B}_{0}^{\;}r{T}_{0}^{\;}}{4m}$
t=2T₀到t=$3{T}_{0}^{\;}$磁感應強度不變，不產生渦旋電場，小球在洛倫茲力作用下做勻速率圓周運動
速率不變?yōu)椋?v={v}_{1}^{\;}=\frac{qr{B}_{0}^{\;}}{2m}$
這段時間運動的路程為：${x}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}{T}_{0}^{\;}$
解得：${x}_{2}^{\;}=\frac{q{B}_{0}^{\;}r{T}_{0}^{\;}}{2m}$
t=3T₀到t=3.5T₀產生與t=T₀到t=2T₀等大反向的渦旋電場，渦旋電場的大�。�$E=\frac{?}{2πr}=\frac{{B}_{0}^{\;}r}{2{T}_{0}^{\;}}$
根據牛頓第二定律：$a=\frac{qE}{m}$
$3.5{T}_{0}^{\;}$時刻速度：${v}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}-a\frac{{T}_{0}^{\;}}{2}$
t=3T₀到t=3.5T₀這段時間內運動的路程：${x}_{3}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}+{v}_{2}^{\;}}{2}\frac{{T}_{0}^{\;}}{2}$
解得：${v}_{2}^{\;}=\frac{q{B}_{0}^{\;}r}{4m}$
    ${x}_{3}^{\;}=\frac{3q{B}_{0}^{\;}r{T}_{0}^{\;}}{16m}$
則總路程x=${x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}+{x}_{3}^{\;}$=$\frac{15q{B}_{0}^{\;}r{T}_{0}^{\;}}{16m}$
t=$3.5{T}_{0}^{\;}$，磁感應強度B=$\frac{3}{2}{B}_{0}^{\;}$
根據牛頓第二定律：$\frac{3}{2}{B}_{0}^{\;}q{v}_{2}^{\;}+{F}_{N}^{\;}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$
解得 ${F}_{N}^{\;}=\frac{5{q}_{\;}^{2}{B}_{0}^{2}r}{16m}$ 
 則大小為${F}_{N}^{\;}=\frac{5{q}_{\;}^{2}{B}_{0}^{2}r}{16m}$
答：（1）若圓環(huán)由金屬材料制成，在t=T₀到t=2T₀這段時間內圓環(huán)上感應電動勢的大小$\frac{{B}_{0}^{\;}}{{T}_{0}^{\;}}π{r}_{\;}^{2}$；
（2）若圓環(huán)由絕緣材料制成，在t=0到t=T₀這段時間內，小球不受圓形軌道的作用力，小球的速度的大小 ${v}_{0}^{\;}$為$\frac{q{B}_{0}^{\;}r}{m}$；
（3）已知在豎直向上的磁感應強度增大或減少的過程中，將產生漩渦電場，其電場線是在水平面內一系列的沿順時針或逆時針方向 的同心圓，同一條電場線上各點的場強大小相等．其大小為E=$\frac{e}{2πr}$．若t=0時刻小球靜止，t=0到t=3.5T0小球運動的路程$\frac{15q{B}_{0}^{\;}r{T}_{0}^{\;}}{16m}$和t=3.5T0時小球對軌道的作用力F的大小$\frac{5{q}_{\;}^{2}{B}_{0}^{2}r}{16m}$

點評 本題是有關感應加速器的問題，感生電場的電場力做正功，電場力是恒定大小的力，電荷速率隨著時間均勻增加，結合動能定理、電勢差與電場強度的關系公式、牛頓第二定律列式求解．