Question

某興趣小組設(shè)計了一種實驗裝置，用來研究碰撞問題。其模型如圖所示。用完全相同的輕繩將N個大小相同、質(zhì)量不等的小球并列懸掛于一水平桿，球間有微小間隔，從從左到右，球的編號依次為1、2、3……N，球的質(zhì)量依次遞減，每球質(zhì)量與其相鄰左球質(zhì)量之比為k（k<1）。將1號球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號球碰撞，2號球再與3號球碰撞……所有碰撞皆為無機(jī)械能損失的正碰。（不計空氣阻力，忽略繩的伸長，g取10m/s²）⑴設(shè)與n+1號球碰撞前n號球的速度為v_n，求n+1號球碰撞后的速度。⑵若N=5，在1號球向左拉高h的情況下，要使5號球碰撞后升高16h（16 h小于繩長），問k值為多少？⑶在第⑵問的條件下，懸掛哪個球的繩最容易斷，為什么？解：

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

 

【解析】(1)設(shè)n號球質(zhì)量為m,n+1號球質(zhì)量為m_n+1，則，設(shè)碰撞后的速度依次為，取水平向右為正方向，據(jù)題意有n號球、n+1號球碰撞前的速度分別為、0，    根據(jù)動量守恒有           ①

根據(jù)動能守恒      ②  

解①②式得,          ③

（2）設(shè)1號球擺至最低點時的速度為,由機(jī)械能守恒定律有

                    所以   ④

設(shè)5號球擺起時的速度為,由機(jī)械能守恒定律有                    ⑤

由③式得后一個球碰后速度為

，，……，                    ⑥

，。 

（3）設(shè)繩長為,第n個球在最低點時，細(xì)繩對球的拉力為,由牛頓第二定律有

            則  ⑧       又   ⑨

由題意知：1號球所受重力最大；由機(jī)械能守恒及傳遞情況可知：1號球在最低點碰前的動能也最大，根據(jù)⑧⑦式知：懸掛1號球的繩最容易斷.

注：因后面各球質(zhì)量（  ⑩）漸次減小、各球碰后速度漸次增大，由⑧式不能直接判斷出各球所受拉力的大小關(guān)系；若將⑥、⑩代入⑧式，也不易看出拉力大小變化的趨向，所以應(yīng)將⑧式后面一項作為“整體”處理。

該問題也可用下面的辦法（個案法）解答：計算N個球中任意相鄰兩個球所受拉力的大小，然后比較之。

1號球與2號球碰前瞬間1號球所受拉力  

1號球與2號球碰后瞬間2號球所受拉力

.由此推知,故懸掛1號球的繩最容易斷.