Question

3．如圖，水平面上的矩形箱子內有一傾角為θ的固定斜面，斜面上放一質量為m的光滑球，靜止時，箱子頂部與球接觸但無壓力，箱子由靜止開始向右做勻加速運動，然后再做加速度大小為a的勻減速運動直至靜止，經過的總路程為s，運動過程中的最大速度為v．
（1）求箱子運動總時間t；
（2）求箱子加速階段的加速度為a′．
（3）若a＞gtanθ，求減速階段球受到箱子左壁和頂部的作用力．

Answer 1

分析 （1）結合平均速度的公式即可求出；
（2）由運動學的公式即可求得物體的加速度；
（3）可以先設小球不受車廂的作用力，求得臨界速度，然后使用整體法，結合牛頓第二定律即可求解．

解答 解：（1）箱子先加速后減速，整個過程中的平均速度都是$\frac{v}{2}$，所以：$s=\frac{v}{2}t$
解得：$t=\frac{2s}{v}$
（2）設加速度為a′，由勻變速直線運動的公式：
${s}_{1}=\frac{{v}^{2}}{2a′}$
${s}_{2}=\frac{{v}^{2}}{2a}$
得：$s={s}_{1}+{s}_{2}=\frac{{v}^{2}}{2a′}+\frac{{v}^{2}}{2a}$
解得：$a′=\frac{a{v}^{2}}{2as-{v}^{2}}$
（3）設小球不受車廂的作用力，應滿足：Nsinθ=ma
Ncosθ=mg
解得：a=gtanθ
減速時加速度的方向向左，此加速度有斜面的支持力N與左壁支持力共同提供，當a＞gtanθ 時，
左壁的支持力等于0，此時小球的受力如圖，

則：Nsinθ=ma
Ncosθ-F=mg
解得：F=macotθ-mg
答：（1）箱子運動總時間是$\frac{2s}{v}$；
（2）箱子加速階段的加速度為a′是$\frac{a{v}^{2}}{2as-{v}^{2}}$．
（3）若a＞gtanθ，求減速階段球受到箱子左壁是0，對頂部的作用力macotθ-mg．

點評 該題中的第三問中，要注意選取受到的左壁的作用力等于0的臨界條件，以及臨界速度．中檔題目．